Question

Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

Answer 1

Ответ НЕТ НЕ МОЖЕТ 
Положим что стороны $a,b,c$ , и $a$ , тогда по неравенству треугольников и свойству геометрической прогрессии 
 $a^2+c^2=ac\ a+c>ac$ что неверно 

А вот для какого нибудь опреленного треугольника оно верно 
Положим что $a,b,c$ стороны треугольника причем $a<b<c$,  так как в условие сказано что стороны должны составлять геометическую прогрессию  $b^2=a*c$ 
По неравенству треугольников 
 $a+sqrt{ac}>c\\ a+c>sqrt{ac}\\ c+sqrt{ac}>a$
 откуда получаем что при  
 $a>0\ 0.5a*(3-sqrt{5})<c<0.5a*(3+sqrt{5})$  
 То есть существует , к примеру $a=2$  $c=3$ 
 $b=sqrt{6}$
               
 И они составляют геометрическую прогрессию , знаменатель которой 
 
 $q=frac{3}{sqrt{6}}$