Question

Помогите с интегралами, пожалуйста!!

Answer 1

$1); int frac{x^4}{x^2+3}dx=int (x^2-3+frac{9}{x^2+3})dx=frac{x^3}{3}-3x+9cdot frac{1}{sqrt3}arctgfrac{x}{sqrt3}+C\\2); int (e^{x}+x)^2dx=int (e^{2x}+2xe^{x}+x^2)dx=I\\int xe^{x}dx=[u=x,; du=dx,; dv=e^{x}dx,; v=e^{x}]= uv-int vdu=\\=xe^{x}-int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C_1=e^{x}(x-1)+C_1\\I=frac{1}{2}e^{2x}+2e^{x}(x-1)+frac{x^3}{3}+C$

$3); int frac{dx}{sinx}=int frac{sinx}{sin^2x}dx=int frac{-d(cosx)}{1-cos^2x}=[t=cosx,; dt=-sinx, dx]=\\=-int frac{dt}{1-t^2}=int frac{dt}{t^2-1}=frac{1}{2}ln|frac{t-1}{t+1}|+C=frac{1}{2}ln|frac{cosx-1}{cosx+1}|+C=ln|tgfrac{x}{2}|+C$

$4); int_0^{frac{pi}{2}}sinxcdot cos^2x, dx=\\=[t=cosx,dt=-sinx, dx,; int t^2cdot (-dt)=-frac{t^3}{3}+C]=\\=-frac{cos^3x}{3}|_0^{frac{pi}{2}}}=-frac{1}{3}(cosfrac{pi}{2}-cos0)=-frac{1}{3}(0-1)=frac{1}{3}$