Question

почему слово живьём пишится с ь

Answer 1

мягкий знак разделяет

Answer 2

В данном случае "ь" играет разделительную роль. Если бы слово было без "ь", то оно выглядело бы, как "живём", то есть абсолютно другое слово. "ь" разделяет звуки от букв "в" и "ё", и получается слово, отличное от "живём". Без "ь" слово теряет своё значение и без него писаться не может!