Question

Решите, пожалуйста. Из ряда натуральных чисел...

Answer 1

После того как вычеркнуты все числа, кратные 2, останется ровно половина чисел
3500:2=1750 чисел
Среди вычеркнутых будут те, которые оканчиваются на 0, значит надо вычеркнуть числа, оканчивающиеся на 5, тогда будут вычеркнуты числа, кратные 5
На 5 оканчиваются числа 5 ;15; 25; ... 3495
Сколько их? Это арифметическая прогрессия
$a_n=a_2+d(n-1)$
3495=5+10·(n-1)  ⇒  10·(n-1)=3495-5      n-1=3490:10    n=394+1=395

1750-395=1355
Осталось вычеркнуть
1)Числа кратные 3:
3;6;9;12;15;18;21;...; 3498
Сколько их? Это арифметическая прогрессия:
 а₁=3   d=3
3498=3+3·(k-1)  ⇒  3(k-1)=3495  ⇒  k-1=1165    ⇒k=1166
Каждое второе уже вычеркнуто, как кратное 2:
Осталось 1166:2= 583 числа
Оканчивающиеся на 5 и в то же время кратные 3 тоже вычеркнуты:
это 15; 45; 75; 105;  ...3495.
Сколько их? Это тоже арифметическая прогрессия:
 а₁=15   d=30
3495=15+30·(m-1)  ⇒  30·(m-1)=3495-15      30·(m-1)=3480    m-1=116
m=117
Значит, осталось вычеркнуть 583-117=466 чисел

1355-466=889 чисел осталось

2)Теперь сосчитаем числа, кратные 7, которые осталось вычеркнуть:

7; 14; 21; 28; 35; 42; 49;... ;3500
 Это снова арифметическая прогрессия:
a₁=7    d=7

3500=7+7·(s-1)  ⇒ 7·(s-1)=3493    ⇒  s-1=499    ⇒  s=500

каждое второе вычеркнуто как четное, осталось 250 чисел;
 Вычеркнуты и числа, кратные 3:
21; 63;105;147; 191;...3465
сколько их
3465=21+42·(p-1)  ⇒  p-1=82    p=83

Сколько  кратных 5 ( и не кратных 3) вычеркнуто
35; 175; 315;  ... 3395
3395=35+140·(r-1)   ⇒140·(r-1)=3395-35    ⇒r-1=24    r=25

250-83-25=142 числа, кратных 7 ( и не кратных 2, 3 и 5) осталось вычеркнуть  

889-142=747 чисел останется
Ответ. 747