Question

Разность прямоугольного треугольника равна 13 см найдите его катеты если известно что один из них на 7 см больше другого

Answer 1

Под разностью прямоугольного треугольника подразумевается либо сумма катетов за вычетом гипотенузы, либо сумма одного из катетов с гипотенузой за вычетом второго катета:

Обозначим катеты, как $k_1$ и $k_2 ,$ а гипотенузу, как $g .$

И рассмотрим три случая, имея в виду, что все величины выражены в см:

[[[ 1 ]]]

$left{begin{array}{l} k_1 + k_2 - g = 13 ; \ k_1 - k_2 = 7 ; \ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} 2k_1 - g = 20 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ k_1^2 + ( k_1 - 7 )^2 = ( 2k_1 - 20 )^2 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ k_1^2 + k_1^2 - 14 k_1 + 49 = 4 k_1^2 - 80 k_1 + 400 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ left|begin{array}{l} 2 k_1^2 - 66 k_1 + 351 = 0 ; \ D_1 = 33^2 - 2 cdot 351 = 1089 - 702 = 387 = ( 3 sqrt{43} )^2 ; \ k_{1[1,2]} = frac{ 33 pm 3 sqrt{43} }{2} = 16.5 pm 1.5 sqrt{43} . end{array}right end{array}right$

$left[begin{array}{l} left{begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \ k_2 = 9.5 - 1.5 sqrt{43} < 0 ; \ k_1 = 16.5 - 1.5 sqrt{43} . end{array}right \ left{begin{array}{l} g = 13 + 3 sqrt{43} ; \ k_2 = 9.5 + 1.5 sqrt{43} ; \ k_1 = 16.5 + 1.5 sqrt{43} . end{array}right end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 13 + 3 sqrt{43} ; \ k_2 = 9.5 + 1.5 sqrt{43} ; \ k_1 = 16.5 + 1.5 sqrt{43} . end{array}right$



[[[ 2 ]]]

$left{begin{array}{l} k_1 + g - k_2 = 13 ; \ k_1 - k_2 = 7 ; \ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 6 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ k_1^2 + ( k_1 - 7 )^2 = 6^2 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 6 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ k_1^2 + k_1^2 - 14 k_1 + 49 = 36 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 6 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ left|begin{array}{l} 2 k_1^2 - 14 k_1 + 13 = 0 ; \ D_1 = 7^2 - 2 cdot 13 = 49 - 26 = ( sqrt{23} )^2 ; \ k_{1[1,2]} = frac{ -7 pm sqrt{23} }{2} < 0 . end{array}right end{array}right$



[[[ 3 ]]]

$left{begin{array}{l} k_2 + g - k_1 = 13 ; \ k_1 - k_2 = 7 ; \ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 20 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ k_1^2 + ( k_1 - 7 )^2 = 20^2 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 20 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ k_1^2 + k_1^2 - 14 k_1 + 49 = 400 . end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 20 ; \ k_2 = k_1 - 7 ; \ left|begin{array}{l} 2 k_1^2 - 14 k_1 - 351 = 0 ; \ D_1 = 7^2 + 2 cdot 351 = 49 + 702 = ( sqrt{751} )^2 ; \ k_{1[1,2]} = frac{ -7 pm sqrt{751} }{2} = pm 0.5 sqrt{751} -3.5 . end{array}right end{array}right$

$left{begin{array}{l} g = 20 ; \ k_2 = 0.5 sqrt{751} - 10.5 ; \ k_1 = 0.5 sqrt{751} - 3.5 . end{array}right$





О т в е т : первый и второй катеты и гипотенуза могут быть равны:

$( k_1 , k_2 , g ) = ( 16.5 + 1.5 sqrt{43} , 9.5 + 1.5 sqrt{43} , 13 + 3 sqrt{43} )$ ;

$( k_1 , k_2 , g ) = ( 0.5 sqrt{751} - 3.5 , 0.5 sqrt{751} - 10.5 , 20 ) .$