Question

Докажите, что если точка пересечения диагоналей трапеции равноудалена от её сторон, то эта трапеция является параллелограммом

Answer 1

1) Пусть ABCD - трапеция, ВС и AD основания трапеции, O - точка пересечения диагоналей.

2) Рассмотрим треугольники BOC и AOD:

     <ВОС = <AOD (вертикальные)

     <CBO = <ODA (накрестлежащие при параллельных прямых AD и BC)

     <BCO = <OAD  (накрестлежащие при параллельных прямых AD и BC)

     Отсюда, треугольники  BOC и AOD подобны

3) Но высоты в этих треугольниках равны ( по условию) ⇒ коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны ⇒ BC = AD

4) По признаку параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны) четырехугольник является не трапецией, а параллелограммом.