Question

Окружность, вписанная в ромб, точкой касании делит его сторону в отношении 2:3 Тогда синус угла ромба ранен

Answer 1

Чертеж к решению задачи во вложении.Обозначим угол $ABC=2beta$. Требуется найти синус угла АВС, т.е. $sin2beta$.

Пусть t- величина одной части при делении стороны ромба точкой касания окружности. Тогда АР=3t, РВ=2t. 

 

По свойству ромба имеем:

1) BD - биссектриса угла АВС;

2) треугольник АОВ - прямоугольный с углом О=90 градусов.

По свойству касательной к окружности ОР-радиус и ОР перпендикуляен стороне АВ.

По свойству высоты прямоугольного треугольника

$OP^2=AP*PB$, т.е. $r^2=2t*3t$

Тогда $t=frac{r}{sqrt6}$, $PB=2*frac{r}{sqrt6}=frac{2r}{sqrt6}$

В прямоугольном треугольнике ОРВ по теореме Пифагора 

$OB^2=OP^2+PB^2$

$OB^2 =r^2+(frac{2r}{sqrt6})^2=frac{10r^2}{6}=frac{5r^2}{3}$  

$OB=frac{rsqrt5}{sqrt3}$ 

$sin2beta=2sinbeta cosbeta$ 

В теугольнике ОРВ: 

$sinbeta=frac{OP}{OB}=r:frac{rsqrt5}{sqrt3}=frac{sqrt3}{sqrt5}$

 

$cosbeta=frac{PB}{OB}=<var>frac{2r}{sqrt6}</var> :frac{rsqrt5}{sqrt3}=frac{2}{sqrt10}$

Наконец,

$sin ABC=sin2beta=2*frac{sqrt3}{sqrt5}*frac{2}{sqrt10}=frac{4sqrt3}{sqrt50}=frac{2sqrt6}{5}$

Ответ:  $sin ABC=frac{2sqrt6}{5}$