Question

1)Дана функция y=x^2+6x+8. Найдите:

а)промежутки возрастания и убывания функции

б)точки экстремума

в)наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4,1]

2)Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^2 в точке x0=2

3)Решить неравенство методом интервалов x^2-1/x+7 > 0



Пожалуйста, со всеми рисунками, и с решением.

Answer 1

1) Вычислим производную функции : 
$y'=(x^2+6x+8)'=(x^2)'+(6x)'+(8)'=2x+6$
Приравниваем производную функции к нулю
$2x+6=0\\ x=-3$
а) Найдем промежутки возрастания и убывания функции:
_____-___(-3)___+____
Функция возрастает на промежутке $(-3;+\infty)$ , а убывает - $(-\infty;-3)$
б) Найти точки экстремума.
В точке х=-3 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, х=-3 - точка минимума.
в) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-4;1].
Найдем значения функции на концах отрезка.
$y(-4)=(-4)^2+6\cdot(-4)+8=0$
$y(-3)=(-3)^2+6\cdot(-3)+8=-1$  - наименьшее
$y(1)=1^2+6\cdot1+8=15$  - наибольшее
Пример 2.  Общий вид уравнения касательной имеет вид: $f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$
1. Найдем значение функции в точке х0=2
$y(2)=2^2=4$
2. Производная функции:
$y'=(x^2)'=2x$
3. Вычислим значение производной функции в токе х0=2
$y'(2)=2\cdot2=4$
Искомое уравнение касательной: $f(x)=4(x-2)+4=4x-4$
Пример 3.  
Решить неравенство методом интервалов                           
  $\dfrac{x^2-1}{x+7}\ \textgreater \ 0$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x)= \dfrac{x^2-1}{x+7}$

Область определения функции: $(-\infty;-7)\cup(-7;+\infty)$

Приравниваем функцию к нулю:
$\dfrac{x^2-1}{x+7}=0\\ x^2-1=0\\ x=\pm1$

Находим теперь решение неравенства
____-__(-7)___+__(-1)___-___(1)___+____
Ответ:  $x \in (-7;-1)\cup(1;+\infty)$

Answer 2

1
y=x²+6x+8=(x+3)²-1
Парабола у=х²,ветви вверх,вершина в точке (-3;-1)
а)убывает при х∈(-∞;-3)
возрастает при х∈(-3;∞)
б)х=-3 точка экстремума
в)у(-4)=(-4+3)²-1=0
у(-3)=-1 наим
у(1)=(1+3)²-1=16-1=15 наиб
2
у=f(x0)+f`(x0)(x-x0) уравнение касательной
f(x0)=2²=4
f`(x)=2x
f`(x0)=2*2=4
y=4+4(x-2)=4+4x-8=4x-4 касательная
3
(x-1)(x+1)/(x+7)>0
x=1  x=-1  x=-7
             _               +              _                +
---------------(-7)-----------(-1)----------(1)---------------
x∈(-7;-1) U (1;∞)