Question

Знайти т. перетину для параболи (1/4*x^2)+1 і кола з центром в т. А (0, 2) і з радіусом 5.

Answer 1

Уравнение данной нам параболы
$y= (1/4*x^2)+1$, 
уравнение окружности
$x^{2} +(y-2)^2=25$

Решим систему данных уравнений:

$left { {{y= frac{x^2}{4} +1} atop {x^{2} +(y-2)^2=25}} right. \ \ x^{2} +(frac{x^2}{4} +1-2)^2=25 \ \ x^{2} +(frac{x^2}{4} -1)^2=25$

Произведем подстановку

$t=frac{x^2}{4} \ \ 4t +(t -1)^2=25 \ \ 4t +t^2-2t+1=25 \ \ t^2+2t+1=25 \ \ (t +1)^2=25 \ \ t+1=б5 \ \ t=-1б5 \ \ t_1=-6;t_2=4$

Выполним обратную подстановку. Заметим, что для t=-6 нет решений в области действительных чисел. Поэтому остается только корень t=4. 

$frac{x^2}{4}=4 \ \ x^{2} =16 \ \ x=б4$

$y(4)=4^2/4+1=5 \ \ y(-4)=4^2/4+1=5$

Следовательно, данные парабола и окружность имеют две точки пересечения: (4; 5) и (-4; 5).