Question

Ускорение силы тяжести на Марсе составляет 3,7 м/с2, на Юпитере — 25 м/с2. Рассчитайте первую космическую скорость для этих планет.

Answer 1

Дано:

g₁=3.7 м/с²;

g₂=25 м/с²;

R₁ ≈ 3.4*10⁶ м;

R₂ ≈ 70*10⁶ м;

___________

Найти: $\displaystyle v_{I1}$, $\displaystyle v_{I2}$

Решение:

Рассмотрим тело, вращающееся вокруг планеты на небольшой высоте (h<<R), сила гравитационного притяжения сообщает телу центростремительное ускорение:

$\displaystyle F_T=ma_c => G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v_I^2}{R} => v_I=\sqrt{\frac{GM}{R} }$

С другой стороны:

$\displaystyle mg=G\frac{Mm}{R^2}=> g=\frac{GM}{R^2}$

Таким образом первая космическая (круговая) скорость:

$\displaystyle v_I=\sqrt{gR}$

Выполним подстановку и расчет:

$\displaystyle v_{I1}=\sqrt{g_1R_1}=\sqrt{3.7*3.4*10^6}=3547$ м/с (≈3,5 км/с)

$\displaystyle v_{I2}=\sqrt{g_2R_2}=\sqrt{25*70*10^6}=41833$ м/с (≈41,8 км/с)

Ответ: 3,5 км/с и 41,8 км/с.