Question

Помогите пожалуйста!!!!!
Дано sin a+cos a= k,найти:
1)sin³a+cos³a
2)sina-cosa
3)sin⁴a+cos⁴a

Answer 1

$sina+cosa=k\\1); ; sin^3a+cos^3a=(sina+cosa)(sin^2a-sinacdot cosa+cos^2a)=\\=kcdot ((underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1})-sinacdot cosa)=kcdot (1-sinacdot cosa); ;\\star ; ; (sina+cosa)^2=k^2\\sin^2a+cos^2a+2sinacdot cosa=k^2\\1+2sinacdot cosa=k^2\\2sinacdot cosa=k^2-1\\sinacdot cosa=frac{k^2-1}{2}; ; star \\sin^3a+cos^3a=kcdot (1-frac{k^2-1}{2})=kcdot frac{2-k^2+1}{2}=frac{kcdot (3-k^2)}{2}; ;\\\2); ; (sina-cosa)^2=underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1}-2sinacdot c osa=1-2cdot frac{k^2-1}{2}=2-k^2$

$sina-cosa=pm sqrt{2-k^2}\\\3); ; sin^4a+cos^4a=(sin^4a+2sin^2acdot cos^2a+cos^4a)-2sin^2acdot cos^2a=\\=(underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1})^2-2sin^2acdot cos^2a=1^2-2cdot (sinacdot cosa)^2=\\=1-2cdot frac{(k^2-1)^2}{4}=1-frac{(k^2-1)^2}{2}=frac{2-(k^2-1)^2}{2}=frac{2-k^4+2k^2-1}{2}=frac{2k^2-k^4+1}{2}$