Question

Алгебра. Упростить дробь. Задание на фото

Answer 1

Для начала отдельно выведем формулу для суммы квадратов тангенса и котангенса:

$tg^2x+ctg^2x=\frac{sin^2x}{cos^2x} + \frac{cos^2x}{sin^2x} = \frac{sin^4x+cos^4x}{sin^2xcos^2x} = \frac{sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x}{sin^2xcos^2x}=\\ =\frac{(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x}{sin^2xcos^2x} =\frac{1-2sin^2xcos^2x}{sin^2xcos^2x} =\frac{1}{sin^2xcos^2x} -2=\frac{4}{4sin^2xcos^2x} -2=\\=\frac{4}{sin^22x} -2.$

Переходим к основной задаче:

$\frac{tg^2x+ctg^2x-6}{tg^2x+ctg^2x+2} =\frac{tg^2x+ctg^2x+2-8}{tg^2x+ctg^2x+2} = 1 - \frac{8}{tg^2x+ctg^2x+2} =1-\frac{8}{\frac{4}{sin^22x} -2+2}=\\ =1-\frac{8}{\frac{4}{sin^22x}} =1-2sin^22x=cos4x.$

Ответ: cos4x.