Question

В параллелограмме ABCD точка E - середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите , что данный параллелограмм - прямоугольник

Answer 1

Ответ:

Что и требовалось доказать!

Объяснение:

Так как $EC = ED \Rightarrow \triangle DEC$ - равнобедренный ⇒ $\angle EDC = \angle ECD.$

В параллелограмме противоположные стороны параллельны.

$\Rightarrow AB || CD \Rightarrow AE || CD \: \: u \:\: EB || CD.$

При пересечении двух параллельных секущей, накрест лежащие углы равны.

$\Rightarrow \angle EDC = \angle AED, \:\: \angle ECD = \angle BEC.$

Но так как $\angle EDC = \angle ECD$, по свойству ⇒

$\angle ECD = \angle EDC = \angle AED = \angle BEC.$

Так как $E$ - середина $AB$ ⇒ $AE = EB.$

$CE = ED,$ по условию.

⇒ $\triangle AED = \triangle BEC,$ по 1 признаку равенства треугольников.

⇒ $\angle EAD = \angle EBC.$

В параллелограмме сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.

Т.к. $\angle EAD = \angle EBC \Rightarrow \angle EAD = \angle EBC = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$.

В параллелограмме сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.

⇒ $\angle ADC= 180^{\circ} - \angle ADE = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

⇒ $\angle BCD = 180^{\circ} - \angle EBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

Параллелограмм, у которого все углы прямые - прямоугольник.