Question

как найти частное решение помогите!

Answer 1

$y''-7y'+12y=3e^{4x}\\\\a)\; \; k^2-7k+12=0\; \; ,\; \; k_1=3\; ,\; k_2=4\; \; (teorema\; Vieta)\\\\\tilde{y}=C_1e^{3x}+C_2e^{4x}\\\\b)\; \; f(x)=3e^{4x}\; \; ,\; \; A=3\; ,\; \underline {\alpha =4=k_2}\; \; \Rightarrow \; \; r=1\; \; \Rightarrow \; \; y^*=Axe^{4x}$

Так как показатель степени у функции  $e^{4x}$  , стоящей в правой части, имеет коэффициент 4 перед "х", и он совпадает с корнем характеристического многочлена кратности 1, то в запись вида частного решения неоднородного уравнения надо поставить множитель  $x^{r}=x^1=x$  . Коэффициент "3" заменяется на А, и добавляется множитель из правой части  $e^{4x}$  .

$y^*=Axe^{4x}\\\\(y^*)'=Ae^{4x}+4Axe^{4x}\\\\(y^*)''=4Ae^{4x}+4Ae^{4x}+16Axe^{4x}\\\\y''-7y'+12y=(4Ae^{4x}+4Ae^{4x}+16Axe^{4x})-7(Ae^{4x}+4Axe^{4x})+12\cdot Axe^{4x}=\\\\=e^{4x}\cdot (4A+4A-7A+16Ax-28Ax+12Ax)=A\cdot e^{4x}\\\\A\cdot e^{4x}=3e^{4x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; A=3\\\\y^*=3x\, e^{4x}\\\\c)\; \; y=\tilde {y}+y^*=C_1e^{3x}+C_2e^{4x}+3c\, e^{4x}$

Answer 2

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение: