Question

Решите!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Ответ:

$7$

Объяснение:

Найдем вспомогательную сумму $S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}$.

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n}{2^n}}=\dfrac{1}{2}<1$, а значит ряд сходится, и $S$ конечна.

Заметим:

$S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k-1}{2^{k-1}}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{m}{2^{m}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{m}{2^{m}}}_{S}+1=\dfrac{S}{2}+1\\ S=\dfrac{S}{2}+1\Rightarrow 2S=S+2\Rightarrow S=2$

Вернемся к исходному условию:

$\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{3}{2^k}=2\underbrace{\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}}_{S=2}+3\underbrace{\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k}}_{1}=2\cdot 2+3\cdot 1=7$

__________________________

Если применять идею сразу:

Пусть $S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}$.

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2n+3}{2^n}}=\dfrac{1}{2}<1$ , а значит ряд сходится, и $S$ конечна.

Заметим:

$S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+1}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2(k-1)+3}{2^{k-1}}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k-1}}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{2m+3}{2^m}+\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{2m+3}{2^m}}_S+3\dfrac{1}{2}\\ S=\dfrac{S}{2}+3\dfrac{1}{2}\Rightarrow S=7$