Question

Скласти рівняння площини, що проходить через точки М1 і М2 паралельно вектору а, якщо: М1 (1;2;0), М2 (2;1;1), а (3;0;1)

Answer 1

Скласти рівняння площини, що проходить через точки М1 і М2 паралельно вектору а, якщо: М1 (1; 2; 0), М2 (2; 1; 1), а (3; 0; 1)

Пусть точка М(x; y;  z) расположена в искомой плоскости β . Тогда в плоскости β расположены векторы М1M(x - 1; y - 2; z) ;  М1М2(1; -1; 1) и вектор a(3; 0; 1).

По условию компланарности смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0.

Находим смешанное произведение векторов:

 | x - 1    y - 2       z   |

 |  1         -1         1   |  = 0 .      Решаем эту матрицу по  

 |  3          0         1  |               схеме Саррюса.

|  x - 1     y - 2      z   |       x  - 1      y - 2    

|  1           -1         1   |           1           -1        

|  3            0         1   |           3           0  =

= (x – 1)*(-1) + (y – 2)*3 + z*0 – (y – 2)*1 – (x – 1)*0 – z*(-3) =

= -x + 1 + 3y - 6 – y + 2 - 12x + 3z =

= -13x + 2y + 3z - 3 = 0, после сокращения на -1 получаем:

13x - 2y - 3z + 3 = 0. Это искомое уравнение плоскости.