Question

Данная функция $f:R\rightarrow\ R$ такая что для любого $x\in\ R$
$f(x+2)+af(x)=f(x+1),\;f(3)=2013,\;a=\dfrac{3+\sqrt{5} }{2}$
Найдите $f(2013)$

Answer 1

Ответ:

$2013\cdot\left(\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}\right)^{402}$

Объяснение:

Заметим, что число $a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ является корнем квадратного уравнения $a^2-3a+1=0$. Распишем f(2013), используя соотношение $f(x+2)=f(x+1)-af(x)$:

$f(2013)=f(2012)-af(2011)=f(2011)-af(2010)-af(2011)=\\=(1-a)f(2011)-af(2010)=(1-a)(f(2010)-af(2009))-af(2010)=\\=(1-2a)f(2010)-a(1-a)f(2009)=(1-2a)(f(2009)-af(2008))-\\-(a-a^2)f(2009)=(a^2-3a+1)f(2009)-a(1-2a)f(2008)$

Поскольку $a^2-3a+1=0$, то $f(2013)=(2a^2-a)f(2008)$.

Вычислим значение выражения $b=2a^2-a$, также используя, что $a^2=3a-1$: $2a^2-a=6a-2-a=5\cdot\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, для функции получили следующее рекуррентное соотношение: $f(x)=bf(x-5)$. Его можно продолжить следующим образом:

$f(x)=bf(x-5)=b\cdot bf(x-10)=b^2f(x-5\cdot 2)=b^3f(x-5\cdot 3)=\ldots\\ \ldots =b^nf(x-5n)$

Тогда $f(2013)=b^{402}f(2013-5\cdot 402)=b^{402}f(3)=2013\cdot\left(\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}\right)^{402}$.