Question

∫(1/1+cosx)dx
Срочно даю 50 балов
​

Answer 1

Ответ:

1способ. Применяем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла и метод подстановки.

$\displaystyle \int \frac{dx}{1+cosx}=\Big[\ 1+cosx=2cos^2\frac{x}{2}\ \Big]=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{cos^2\dfrac{x}{2}}=\\\\\\=\Big[\ t=\frac{x}{2}\ ,\ x=2t\ ,\ dx=2\, dt\ \Big]=\frac{1}{2}\int \frac{2\, dt}{cos^2\, t}=\int \frac{dt}{cos^2\, t}=tg\, t+C=\\\\\\=tg\frac{x}{2}+C$

2 способ. Универсальная тригонометрическая подстановка.

$\displaystyle \int \frac{dx}{1+cosx}=\Big[\ t=tg\frac{x}{2}\ ,\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\ ,\ dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\ ,\ x=2arctgt\ \Big]=\\\\\\= \int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\Big(1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big)}=2\int \frac{dt}{1+t^2+1-t^2}=\int dt=t+C=\\\\\\=tg\frac{x}{2}+C$