Question

Вершины треугольника: A(-19,0,0), B(0,19,0) и C(0,0,-6). Найдите расстояние этого треугольника (как плоскости) от точки начала координат.

Answer 1

Ответ:

114/√433

Пошаговое объяснение:

Если плоскость проходит через точки М₁(x₁; y₁; z₁), М₂(x₂; y₂; z₂) и М₃(x₃; y₃; z₃), то общее уравнение этой плоскости можно задать как

$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_1-x_2 & y_1-y_2 & z_1-z_2\\ x_1-x_3 & y_1-y_3 & z_1-z_3 \end{vmatrix} =0$

$\begin{vmatrix} x+19 & y & z \\ -19 & -19 & 0 \\ -19 & 0 & 6 \end{vmatrix} =0$

Раскладываем определитель по первой строке

$(x+19)\begin{vmatrix} -19 & 0 \\ 0 & 6 \end{vmatrix}-y\begin{vmatrix} -19 & 0 \\ -19 & 6 \end{vmatrix} +z \begin{vmatrix} -19 & -19 \\ -19 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ \\ (x+19)*(-114)-y*(-114)+z*(0-361)=0 \\ -114(x+19)+114y-361z=0 \\ -114x-2166+114y-361z=0$

-114x+114y-361z-2166=0 |:19

-6x+6y-19z-114=0 - общее уравнение плоскости

Расстояние d от плоскости Ax+By+Cz+D=0 до точки M₀(x₀; y₀; z₀) находится по формуле:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }$

Начало координат: M₀(0; 0; 0)

$d=\frac{|-6*0+6*0-19*0-114|}{\sqrt{(-6)^2+6^2+(-19)^2} } =\frac{114}{\sqrt{433} }$

Answer 2

Сначала  составляем уравнение плоскости АВС, используя формулу:

x – xA                     y - yA                      z - zA

xB - xA                 yB - yA                      zB - zA

xC - xA                  yC - yA                     zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-19)            y – 0                 z - 0

0 - (-19)            19 – 0                0 – 0

0 - (-19)             0 – 0                -6 - 0 = 0

x - (-19)            y – 0                z – 0

19                        19                      0                  

19                          0                     -6 = 0

(x – (-19))*(19·(-6)-0·0) – (y - )*(19·(-6)-0·19) + (z – 0)*(19·0-19·1) = 0

(-114)(x - (-19)) + 114(y - ) + (-361)(z - ) = 0

- 114x + 114y - 361z - 2166 = 0 и после сокращения на 19 получаем

6x - 6y + 19z + 114 = 0.

Расстояние в трехмерном пространстве от точки O с координатами (Ox, Oy, Oz) до прямой, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, считается так: (см. вкладку).

Начало координат – точка О(0; 0; 0).

Коэффициенты уравнения плоскости: А = 6, В = -6, С = 19, D = 114.

Подставим эти данные в формулу.

d = |6*0 + (-6)*0 + 19*0 + 114|/√(6²+ (-6)²+ 19²) = 114/|/√(36 + 36 + 361) =

 = 114/√433 ≈ 5,47849.