Question

Тема: Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
Завдання: Знайти загальний розв’язок рівняння:

Answer 1

Ответ:

Общее решение дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{C = \sin \dfrac{y}{x} +\ln|x|}}$

Пошаговое объяснение:

$xy' \cos \dfrac{y}{x} + x = y \cos \dfrac{y}{x}$

Замена:

$y = tx$, где $t \ -$ функция от аргумента $x$.

$y = tx \Longrightarrow t = \dfrac{y}{x}$

$y' = (tx)' = t'x + tx' = t'x + t$

-----------------------------------------------

$x (t'x + t) \cos \dfrac{tx}{x} + x = tx \cos \dfrac{tx}{x}$

$x (t'x + t) \cos t + x = tx \cos t$

$t'x^{2} \cos t + tx \cos t + x = tx \cos t$

$t'x^{2} \cos t =-x|:x^{2}$

$\dfrac{dt}{dx} \cos t = -\dfrac{1}{x} \Longrightarrow \cos t \ dt = -\dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int {\cos t} \, dt = \int { -\dfrac{1}{x}} \, dx = -\int { \dfrac{1}{x}} \, dx$

$\sin t = -\ln|x| + C$

$C = \sin \dfrac{y}{x} +\ln|x|$ - общий интеграл