Помогите!! Даю 60 баллов
1. Обчисліть sin 2x, якщо sinx = 3/5, π/2 < x < π.
2. Розв'яжіть рівняння:
а) cos2x cosx + sin2x sinx =1;
б) tg (5x + π/4) =√3;
в) sin^x + 4cox = 2,75.
3. Установіть відповідність між рівняннями (1-3) і множинами їх коренів(А-Д) на проміжку [0; 2π]:
1. sin2x=0 . А. {0; 2π}
2. 2cosx = 2. Б. {0; π/2; π; 3π/2; 2π}
3.cos2x = 0. В. {0; π/4; π/2; 3π/4; π}
Г. {π}
Д. {π/4; 3π/4; 5π/4; 7π/4}
( ^ - значок квадрата).
Ответы
Ответ:
Для розв'язування тригонометричних рівнянь ми можемо використовувати алгебраїчні властивості, тригонометричні тотожності, обернені тригонометричні функції та одиничне коло. Нижче наведено розв'язки для кожного рівняння:
Обчислити sin 2x, якщо sinx = 3/5, π/2 < x < π.
Ми можемо використати формулу подвійного кута: sin 2x = 2 sinx cosx
Ми знаємо, що sinx = 3/5, тому можемо знайти cosx за допомогою тотожності Піфагора: cosx = -4/5 (від'ємне, оскільки x знаходиться у другому квадранті)
Отже, sin 2x = 2 * (3/5) * (-4/5) = -24/25
Розв'язуємо рівняння: a) cos2x cosx + sin2x sinx =1;
Використовуємо формулу суми кутів: cos2x cosx + sin2x sinx = cos(x - 2x) = cos(-x)
Тоді cos(-x) = 1, що означає x = 2kπ для будь-якого цілого k
b) tg (5x + π/4) =√3;
Ми можемо використати обернену функцію тангенса: 5x + π/4 = tan^-1(√3) + kπ для довільного цілого k
Тоді 5x = tan^-1(√3) + kπ - π/4, що означає x = (tan^-1(√3) + kπ - π/4)/5
c) sin^x + 4cox = 2.75.
Ми можемо використати піфагорійську тотожність: sin^x + 4cox = 2.75
sin^x + cos^x = 1, тому 4cox = 2,75 - sin^x
Піднісши обидві частини до квадрату, отримаємо 16cos^x = 7.5625 - 5.5sin^x + sin^x
Підставивши cos^x = 1 - sin^x, отримаємо 16(1 - sin^x) = 7.5625 - 5.5sin^x + sin^x
Спрощуючи, отримуємо 21.5sin^x - 8.4375 = 0
Ділимо на 21.5, отримуємо sin^x = 0.3926
Витягуючи квадратний корінь, отримуємо sinx = ±0.6266
Використовуючи функцію, обернену до синуса, отримаємо x = sin^-1(±0.6266) + 2kπ для будь-якого цілого k
Встановіть відповідність між рівняннями (1-3) та наборами їх коренів (A-D) на проміжку [0; 2π]:
sin2x=0 . A. {0; 2π}
2cosx = 2. B. {0; π/2; π; 3π/2; 2π}
cos2x = 0. C. {0; π/4; π/2; 3π/4; π} D. {π} E. {π/4; 3π/4; 5π/4; 7π/4}
Для знаходження коренів рівнянь можна скористатися одиничним колом та оберненими тригонометричними функціями.
1. sin2x = 0 означає, що 2x = sin^-1(0) + 2kπ для будь-якого цілого k
Ділимо на 2, отримуємо x = kπ для будь-якого цілого k
На проміжку [0; 2π] коренями є {0; π; 2π}, що відповідає B.
2. 2cosx = 2 означає cosx = 1, що означає x = cos^-1(1) + 2kπ для довільного цілого k
На проміжку [0; 2π] єдиним коренем є {0}, що відповідає A.
3. cos2x = 0 означає, що 2x = cos^-1(0) + 2kπ для довільного цілого k
Ділимо на 2, отримуємо x = (cos^-1(0) + 2kπ)/2 для довільного цілого k
На проміжку [0; 2π] коренями рівняння є {π/4; 3π/4; 5π/4; 7π/4}, що відповідає E.
Объяснение: