Question

В прямоугольном треугольнике KLN, ∠L = 90°, точка P находится на высоте LH, а из точки N опущен перпендикуляр NM на прямую KP. Найдите длину стороны KL, если KP = a, PM = b..

Answer 1

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника KLN:

KL^2 = KN^2 + NL^2

Так как LN является высотой треугольника, то KN = KP - PN = a - NM = a - (KL - LM) = a - (KL - NL). Также заметим, что треугольник KPM является прямоугольным, поэтому по теореме Пифагора для него:

KP^2 = KPM^2 + PM^2

a^2 = (KL - NL)^2 + b^2

Раскрывая скобки, получим:

a^2 = KL^2 - 2KL*NL + NL^2 + b^2

Теперь выразим KL^2 из первого уравнения и подставим во второе:

KL^2 = KN^2 + NL^2 = (a - (KL - NL))^2 + NL^2

KL^2 = a^2 - 2a(KL - NL) + (KL - NL)^2 + NL^2

KL^2 = a^2 - 2a(KL - NL) + KL^2 - 2KL*NL + 2NL^2

2a(KL - NL) = a^2 + 2KL*NL - NL^2 - KL^2

KL - NL = (a^2 + 2KL*NL - NL^2 - KL^2) / (2a)

KL = (a^2 + 2KL*NL - NL^2 - KL^2) / (2a) + NL

KL = (a^2 + b^2) / (2a)