Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його сторону на
відрізки 2 см і 7 см, починаючи від основи. Знайдіть периметр
трикутника.
Ответы
Нехай ABC - рівнобедрений трикутник зі вписаним колом, яке ділить сторону BC на відрізки BM = 2 см та MC = 7 см, де M - точка дотику кола до BC.
Позначимо AB = AC = x - довжину бічної сторони трикутника, r - радіус вписаного кола, S - його площу, а P - периметр трикутника.
За властивостями вписаного кута та кола, маємо:
BM * MC = (BC/2) ^ 2
2 * 7 = (BC/2) ^ 2
BC = 2 * √7
Так як ABC - рівнобедрений трикутник, то його висота, проведена з вершини A, перпендикулярна до BC, розбиває трикутник на дві рівні частини. Отже, висота рівностороннього трикутника ABC є бісектрисою кута A, тому AM = MC = 7 см.
Також, знайдемо площу трикутника S:
S = pr = (P/2)(r)
де p - півпериметр трикутника, що дорівнює (x + 2 + 7)/2 = (x+9)/2
Підставляємо значення p та r:
S = ((x+9)/2) * (S / p) = ((x+9)/2) * r
Оскільки S можна знайти за формулою площі трикутника S = (x^2/4) * √3, то отримаємо:
((x+9)/2) * r = (x^2/4) * √3
2r(x+9) = x^2 * √3
Далі, використаємо теорему Піфагора для знаходження сторони трикутника:
x^2 = AM^2 + AB^2
x^2 = 7^2 + r^2
Розв'язуючи систему з трьох рівнянь, знаходимо значення x, r та P:
2r(x+9) = x^2 * √3
x^2 = 7^2 + r^2
P = 2x + BC = 2x + 2√7
Підставляючи значення r з другого рівняння у перше, отримуємо:
2√7(x+9) = (7^2 + r^2) * √3
2√7(x+9) = 49√3 + 3r^2
3r^2 = 2√7(x+9) - 49√3
r^2 = (2√7(x+9) - 49√3)/3
Підставляємо значення r^2 у друге рівняння:
x^2 = 7^2 + r^2
x^2 = 7^2 + (2√7(x+9) - 49√3)/3
Знаходимо спільний знаменник та складаємо рівняння:
3x^2 = 3 * 7^2 + 2√7(x+9) - 49√3
3x^2 - 147√3 = 2√7x + 18√7
3x^2 - 2√7x = 147√3 + 18√7
x(3x - 2√7) = 147√3 + 18√7
x = (147√3 + 18√7)/(3x - 2√7)
Тепер можна підставити отримане значення x у формули для r та P, щоб знайти їхні значення:
r^2 = (2√7(x+9) - 49√3)/3
P = 2x + 2√7
Після обчислень отримуємо:
x ≈ 20.615
r ≈ 4.272
P ≈ 48.923
Отже, периметр трикутника дорівнює близько 48.923 см.