Точка, узята на одній із граней двогранного кута, лежить від ребра на відстані 14 см, а від другої грані - на відстані 7 см.
Знайдіть двогранний кут.
Ответы
Ответ:
Щоб знайти двогранний кут, необхідно знати довжину ребра і відстані від точки до двох граней. Нехай ребро має довжину а, а відстані від точки до граней - b і с. Тоді можна використати теорему косинусів, яка говорить, що косинус кута між двома гранями дорівнює відношенню різниці квадратів довжин відрізків, що лежать від точки до граней, і добутку їх довжин:
cos(α) = (b² + c² - a²) / (2bc)
У нашому випадку маємо:
b = 14 см
c = 7 см
Для знаходження довжини ребра a потрібно додати до однієї з відстаней b або с певну кількість, яка буде рівна відстані від точки до перетину бісектриси кута з основою. Зазвичай це дуже складна задача, але в даному випадку є простіший спосіб. Оскільки точка лежить на одній з граней і від неї відстань до іншої грані є меншою, то це означає, що точка лежить на більшому з двох кутів. Тому можна розділити двограний кут на два прямі кути і застосувати теорему Піфагора для знаходження довжини більшого з ребер, а потім додати до нього 14 см:
a² = b² + c²
a = √(14² + 7²) ≈ 15,68 см
Тепер можна використати теорему косинусів для знаходження косинуса кута між гранями:
cos(α) = (b² + c² - a²) / (2bc) = (14² + 7² - 15,68²) / (2·14·7) ≈ 0,750
За формулою оберемо дугу, відповідна даному значенню косинуса, з таблиці тригонометричних значень і знайдемо відповідний кут:
α ≈ arccos(0,750) ≈ 42,47