Question

шахматный турнир проводится 5 дней в котором 5 участников. Сколько способов распределить игры между участниками, если любой игрок должен сыграть хотя бы одну партию и игроки играют между собой только одну игру​

Answer 1

В такой ситуации мы можем использовать принцип включения-исключения. Сначала посчитаем количество всех возможных распределений игр без ограничений. Каждый из 5 участников может сыграть с каждым из оставшихся 4 игроков, т.е. всего возможно 20 игр. Для каждой игры мы можем выбрать одного из двух участников, который будет играть белыми. Поэтому общее число распределений игр будет равно 2^20.

Теперь рассмотрим ограничение, что каждый игрок должен сыграть хотя бы одну партию. Это означает, что нам нужно выбрать 5 пар игроков, которые будут играть между собой. Мы можем выбрать эти пары из 5 участников сочетанием по 2: C(5,2) = 10 способами. Однако, если мы просто назначим игры для каждой из этих пар, то некоторые участники могут сыграть больше, чем одну партию, что противоречит условию задачи.

Для того чтобы учесть это, мы должны применить принцип включения-исключения. Рассмотрим случай, когда один игрок сыграл две партии. Такой игрок может быть выбран 5 способами, а для выбранного игрока мы можем выбрать любую из 10 игр. Для оставшихся 4 игроков останется 18 игр, которые нужно распределить так, чтобы каждый сыграл хотя бы одну партию. Таким образом, общее число распределений игр, в которых один игрок сыграл две партии, будет равно 5 * 10 * 2^16.

Аналогично, можно посчитать число распределений игр, в которых два игрока сыграли две партии: C(5,2) * C(10,2) * 2^14.

И, наконец, число распределений игр, в которых три игрока сыграли две партии: C(5,3) * C(10,2) * 2^12.

Тогда общее число возможных распределений игр между участниками будет равно:
2^20 - 5 * 10 * 2^16 + C(5,2) * C(10,2) * 2^14 - C(5,3) * C(10,2) * 2^12 = 2,598,960.

Ответ: 2,598,960 способов распределить игры между участниками