Ответы
Ответ:
Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку. Для розв’язку цього рівняння будемо використовувати метод інтегруючого множника:
1. Запишемо рівняння у звичайному вигляді:
y‘ = 1 - e^xy
2. Знайдемо інтегруючий множник. Для цього множимо обидві частини рівняння на функцію mu(x):
mu(x) y‘ = mu(x) - mu(x) e^xy
3. За допомогою правила ланцюгового диференціювання знайдемо похідну виразу mu(x)y:
(mu(x) y)‘ = mu‘(x) y + mu(x) y‘
4. Підставимо отримане значення похідної у ліву частину рівняння:
(mu(x) y)‘ = mu‘(x) y + mu(x) y‘ = mu(x) - mu(x) e^xy
5. Очевидно, що mu‘(x) = 0, а тому:
mu(x) y = ∫mu(x) dx - ∫mu(x) e^xy dx
6. Щоб знайти mu(x), розглянемо другий інтеграл. Для цього зробимо заміну:
u = xy, du/dx = y + xy’
Отримаємо:
∫mu(x) e^xy dx = (1/mu(x)) ∫ mu‘(x) e^xy dx = (1/mu(x)) ∫ e^u du = (1/mu(x)) e^u + C1 = (1/mu(x)) e^{xy} + C1
7. Підставимо отримане значення mu(x) у вираз для mu(x)y:
mu(x) y = ∫mu(x) dx - ∫mu(x) e^xy dx
mu(x) y = ∫mu(x) dx - (1/mu(x)) e^{xy} - C1
mu(x) y + mu(x) e^{xy} = ∫mu(x) dx - C1
8. Продиференціюємо ліву та праву частини рівняння за x:
(d/dx) (mu(x) y + mu(x) e^{xy}) = (d/dx) (∫mu(x) dx) - (d/dx) C1
mu(x) y‘ + mu‘(x) y + mu(x) e^{xy} + mu(x) xye^{xy} = mu(x)
9. Підставимо значення mu‘(x) та mu(x) з попередніх розрахунків та спростимо вираз:
y + xy’ + y e^{xy} = 1/mu(x)
y’ + y e^{xy} = 1/mu(x)^2
10. Підставимо значення mu(x):
y’ + y e^{xy} = e^{-xy}
11. Розв’язуємо рівняння методом Ріккаті:
z(x) = ∫ e^{\int e^{x} dx} dx = ∫ e^{e^x} dx = e^{e^x} + C2
y(x) = (C3 + z(x))/e^{xy}
Відповідь: y(x) = (C3 + e^{e^x})/e^{xy}, де C3 - константа інтегрування.
Пошаговое объяснение:
надіюсь правильно