число n имеет в сумме 44 делителя. Чему равно произведение всех этих делителей. Срочно даю 30 баллов
Ответы
Ответ: n^(22)
Объяснение:
44 делителя это конечно сильно друг, где вы только такие задачи достаёте... Но разберёмся по порядку.
Разложим n на множители, для большей ясности пусть n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak, где p1, p2, …, pk - простые числа, а a1, a2, …, ak - натуральные степени. тогда кол-во делителей равно d(n) = (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1) .Каждый делитель n имеет вид p1^b1 * p2^b2 * … * pk^bk, где 0 <= bi <= ai для каждого i
тогда умножение всех делителей будет (p1^0 * p2^0 * … * pk^0) * (p1^0 * p2^0 * … * pk^1) * … * (p1^0 * p2^0 * … * pk^ak) * (p1^0 * p2^1 * … * pk^0) * (p1^0 * p2^1 * … * pk^1) * … * (p1^0 * p2^1 * … * pk^ak) * … (p1^a1 * p2^a2 * … * pk^0) * (p1^a1 * p2^a2 * … * pk^1) * … * (p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak)
все это группируем и избавляемся от лишнего мусора, вытоге останется n^(d(n)/2) = (p1^(a1*(a1+1)/2) )(p2^(a2(a2+1)/2)) (…)(pk^(ak*(ak+1)/2)) - это формула для произведения всех делителей числа n
конкретно в этой задаче 44 делителя так что d(n) = 44. Это возможно только если n имеет вид n = 2^(11) или n = 3^(5). Тогда ответ будт
n^(44/2) = n^(22), если n = 2^(11)
или можно
n^(44/2) = n^(22), если n = 3^(5) без разницы оба варианта правильны
и вытоге получается что ответ не зависит от конкретного значения n, а только от того факта, что у него 44 делителя.