Доведіть що трикутник із вершинами в точках А(-1;-25)В(-1, 2) С(5, 2) є прямокутним і складіть рівняння кола описаного навколо цього трикутника
Ответы
Ответ:
Для доведення того, що трикутник є прямокутним, ми можемо перевірити, чи перпендикулярні між собою вектори, що утворюють його сторони. Якщо вони будуть перпендикулярними, то трикутник буде прямокутним.
Для обчислення векторів, що утворюють сторони трикутника, ми використаємо координати вершин A(-1, -25), B(-1, 2) і C(5, 2).
Вектор AB можна обчислити як:
AB = B - A = (-1, 2) - (-1, -25) = (-1 - (-1), 2 - (-25)) = (0, 27).
Вектор BC можна обчислити як:
BC = C - B = (5, 2) - (-1, 2) = (5 - (-1), 2 - 2) = (6, 0).
Вектор AC можна обчислити як:
AC = C - A = (5, 2) - (-1, -25) = (5 - (-1), 2 - (-25)) = (6, 27).
Тепер ми перевіримо, чи є вектори AB і BC перпендикулярними. Для цього ми обчислимо їх скалярний добуток і перевіримо, чи дорівнює він нулю.
AB · BC = (0, 27) · (6, 0) = 0 + 0 = 0.
Отримали нульове значення скалярного добутку, що означає, що вектори AB і BC є перпендикулярними. Тому трикутник з вершинами А(-1, -25), В(-1, 2) і С(5, 2) є прямокутним.
Тепер складемо рівняння кола, описаного навколо цього прямокутного трикутника. Для цього використовуємо середини сторін трикутника і радіус, який дорівнює половині довжини сторони.
Середина сторони AB має координати:
(ABx, ABy) = ( (-1 + (-1)) / 2, (-25 + 2) / 2 ) = (-1, -11.5).
Середина сторони BC має координати:
(BCx, BCy) = ( (-1 + 5) / 2, (2 + 2) /2 ) = (2, 2).
Середина сторони AC має координати:
(ACx, ACy) = ( (-1 + 5) / 2, (-25 + 2) / 2 ) = (2, -11.5).
Тепер ми можемо обчислити радіус кола, використовуючи відстань від центру кола до будь-якої вершини трикутника. Візьмемо, наприклад, відстань від центру кола до вершини A.
Радіус кола, описаного навколо цього прямокутного трикутника, буде дорівнювати половині довжини сторони AC.
Довжина сторони AC може бути обчислена за формулою відстані між двома точками:
AC = √[(ACx - Ax)² + (ACy - Ay)²],
де Ax, Ay - координати вершини A.
AC = √[(2 - (-1))² + (-11.5 - (-25))²] = √[3² + 13.5²] = √(9 + 182.25) = √191.25.
Таким чином, радіус кола дорівнює R = √191.25 / 2.
Рівняння кола, описаного навколо цього прямокутного трикутника, буде:
(x - ACx)² + (y - ACy)² = R²,
де (ACx, ACy) - координати центру кола, R - радіус кола.
Вставляючи значення координат центру кола та радіус, отримуємо рівняння кола.