Question

Сила струму у коливальному контурі, що складається з
котушки індуктивністю L = 0,1 Гн та конденсатора, змінюється з часом згідно з
виразом I = -0,1sin(200(pi)*t). Визначити: 1) період коливань; 2) ємність
конденсатора; 3) максимальну напругу на обкладках конденсатора; 4) максимальну
енергію магнітного та електричного полів.

Answer 1

Ответ:

1) период колебаний T = 0,01 с;

2) емкость конденсатора C ≈ 25 мкФ;

3) максимальное напряжение на обкладках конденсатора Um ≈ 6,3 B;

4) максимальные энергии магнитного и электрического полей равны: Wм = We = 0,0005 Дж.

Объяснение:

Сила тока в колебательном контуре, состоящая из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатора, изменяется со временем согласно выражению I = -0,1sin(200(pi)*t). Определить: 1) период колебаний; 2) емкость конденсатора; 3) максимальное напряжение на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного и электрического полей.

Дано:

I = -0,1sin(200πt)

L = 0,1 Гн

T - ?

C - ?

Um - ?

Wм - ?

We - ?

——————————————

Общий вид уравнения гармонических колебаний:

$x = I_m sin(\omega t + \phi _0)$ , где:

$I_m$ - максимальное значение тока (амплитуда)

ω - циклическая частота

φ0 - начальная фаза колебаний

Максимальное значение силы тока равно:

$I_m$ = |-0,1| A = 0,1 A - отрицательно значение означает сдвиг по фазе на половину периода, при этом амплитудное значение считается по модулю.

1) Циклическая частота равна ω = 200π Гц, тогда период колебаний:

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{200\pi} = 0,01 c$

2) Формула Томпсона для колебательного контура:

$T = 2\pi \sqrt{LC}$

Найдем емкость конденсатора:

$C = \Big( \dfrac{T}{2\pi} \Big)^2 \cdot \dfrac{1}{L} = \dfrac{T^2}{4\pi^2L}$

C = 10⁻⁴ с² / (4·π² · 0,1 Гн) ≈ 25·10⁻⁶ Ф = 25 мкФ

3) По закону сохранения энергии максимальная энергия магнитного поля катушки с током равна максимальной энергии электрического поля заряженного конденсатора:

$W_M = W_e$

Максимальная энергия магнитного поля:

$W_M = \dfrac{LI_m^2}{2}$

Максимальная энергия электрического поля:

$W_e = \dfrac{CU_m^2}{2}$

Тогда:

$CU_m^2 = LI_m^2 \ \Longrightarrow \ U_m = \sqrt{\dfrac{LI_m^2}{C}}$

Um = √(0,1 Гн · (0,1 A)² / 25·10⁻⁶ Ф) ≈ 6,3 B

4)

W_M = 0,1 Гн · (0,1 A)² / 2 = 0,0005 Дж

W_e = 25·10⁻⁶ Ф · (6,3 B)² / 2 = 0,0005 Дж

#SPJ1