СРОООЧНООО СКОРО КОНЕЦ УРОКА ХЕЛП. У рівнобедреному трикутнику основа дорів кута при основі. Доведіть, що кут при основі трикутника удвічі більший за кут при його вершині
Ответы
Ответ:
Позначимо вершину рівнобедреного трикутника як A, а основу як BC.
Оскільки трикутник рівнобедрений, то AB = AC.
Нехай ∠BAC = α, ∠ABC = ∠ACB = β. Заявляється, що 2β = α.
Розглянемо трикутник ABC. Оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусам, то маємо:
α + 2β = 180°
2β = 180° – α
β = (180° – α) / 2
Розглянемо трикутник ABD, де D - середина відрізка BC. Оскільки AD = BD (з рівнобедреності трикутника), а також ∠ABD = ∠BAD (кути, прилеглі до спільної сторони), то трикутник ABD також є рівнобедреним. Отже, ∠ADB = β.
Розглянемо трикутник ACD. Оскільки AD = AC (з рівнобедреності трикутника), а також ∠ADC = ∠ACD (кути, прилеглі до спільної сторони), то трикутник ACD також є рівнобедреним. Отже, ∠ADC = β.
Таким чином, в трикутнику ABD маємо ∠BDA = 180° – 2β, а в трикутнику ACD маємо ∠CDA = 180° – 2β.
Знову розглянемо трикутник ABC. Оскільки АD є бісектрисою кута CAB, то з теоремою про бісектриси в тркутниках маємо:
BD / CD = AB / AC
AB = AC;
BD = CD
Отже, маємо:
BD / CD = 1
BD = CD
Познач: ∠ABD = γ та ∠ACD = δ. Тоді з теоремою синусів маємо:
BD / sin γ = AD / sin β
CD / sin δ = AD / sin β
BD / CD = 1
Розділяємо перше рівняння на друге:
(sin γ / sin β) / (sin δ / sin β) = 1
sin γ / sin δ = 1
sin γ = sin δ
Таким чином, γ = δ або γ + δ = 180°. Але γ не може бути дорівнює δ, оскільки тоді ми отримаємо, що сторони трикутника ABC рівні між собою, а це суперечить умові задачі. Отже, маємо:
γ + δ = 180°
Замінюємо γ та δ на вирази, що ми знайшли раніше:
β + β = 180°
2β = 180°
β = 90°
Отже, кут при основі трикутника дорівнює 2β = 180° – α, а кут при вершині трикутника дорівнює α. Звідси, кут при основі трикутника удвічі більший за кут при його вершині:
2β = 180° – α
2(90°) = 180° – α
α = 180° - 180° / 2
α = 90°
Отже, кут при основі удвічі більший за кут при вершині.
Пошаговое объяснение: