Question

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
Плиз дайте развернутое решение

Answer 1

Площа прямокутного трикутника дорівнює S = (a * b) / 2 де a і b - катети трикутника.
За теоремою Піфагора знаємо, що гіпотенуза дорівнює √(a^2 + b^2).
Тому можемо записати: b = √ (12 ^ 2 - a ^ 2).
Підставляємо це у формулу для площі трекутника: S = (a*√(12^2 - a^2))/2.
Щоб знайти максимальне значення площі, потрібно взяти похідну від цієї формули та прирівняти до нуля:
dS/da = (12 - a^2/√(12^2 - a^2))/2 = 0
12 - a^2/√(12^2 - a^2) = 0
12 = a^2/√(12^2 - a^2)
144(12^2 - a^2) = a^4
1728 - 144a^2 + a^4 = 0
(a^2 - 72)^2 = 0
a^2 = 72
a = √72 ≈ 8,49
Таким чином, катете повинні мати довжину близько 8,49 см, щоб площа прямокутного трекутника була максимальною.