Помогите решить!!!
1. Дано точки К(0; –4; 8) і М(–4; 2; 6). Знайдіть координати середини відрізка КМ.
2. Знайдіть координати точки, симетричної точці В(6; –3; 2) відносно точки С(4; 1;
–6).
3. Знайдіть довжину медіани ВМ ΔАВС, заданого координатами своїх вершин
А(3; –1; 4), В(2; –1; 3) і С(5; 3; 2).
4. Знайдіть косинус кута між векторами а і b , якщо:
а (0; 2; 3), b (2; 4; 1).
5. Знайдіть скалярний добуток векторів а (–6; 2; –3), b (5; 4; –1).
6. Знайдіть периметр чотирикутника АВСD, якщо А(2; 1; 6), В(4; 0; 3), С(5;1;5),
D(2; 6; 3).
7. Побудуйте фігуру, симетричну даному ΔNKM відносно:
а) довільної точки О; б) вершини М; в) середини В сторони NM.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Чтобы найти координаты середины отрезка KM, нужно найти среднее арифметическое каждой координаты точек K и M.
Координаты середины вектора KM будут равны:
Xсередина = (Xк + Xм) / 2 = (0 - 4) / 2 = -2
Yсередина = (Yк + Yм) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -1
Zсередина = (Zк + Zм) / 2 = (8 + 6) / 2 = 7
Таким образом, координаты середины отрезка KM равны (-2, -1, 7).
Чтобы найти координаты точки, симметричной точке В относительно точки С, нужно использовать формулу для симметрии вектора. Формула гласит:
Xсимметричная = 2 * Xцентр - Xисходная
Yсимметричная = 2 * Yцентр - Yисходная
Zсимметричная = 2 * Zцентр - Zисходная
Подставим значения:
Xсимметричная = 2 * 4 - 6 = 2
Yсимметричная = 2 * 1 - (-3) = 5
Zсимметричная = 2 * (-6) - 2 = -14
Таким образом, координаты точки, симметричной точке В относительно точки С, равны (2, 5, -14).
Для нахождения длины медианы ВМ треугольника ABC, заданного координатами вершин A(3, -1, 4), B(2, -1, 3) и C(5, 3, 2), нужно найти середину отрезка ВМ и вычислить длину этого отрезка.
Сначала найдем координаты середины отрезка ВМ:
Xсередина = (XВ + XМ) / 2 = (2 + 3) / 2 = 2.5
Yсередина = (YВ + YМ) / 2 = (-1 - 1) / 2 = -1
Zсередина = (ZВ + ZМ) / 2 = (3 + 4) / 2 = 3.5
Координаты середины отрезка ВМ равны (2.5, -1, 3.5).
Теперь вычислим длину отрезка ВМ, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)
= √((2 - 2.5)² + (-1 - (-1))² + (3 - 3.5)²)
= √(0.25 + 0 + 0.25)
= √0.5
≈ 0.71
Таким образом, длина медианы ВМ треугольника ABC составляет примерно 0.71.
Чтобы найти косинус угла между векторами а и b, можно использовать формулу:
cos(θ) = (а * b) / (||а|| * ||b||)
где а * b - скалярное произведение векторов, ||а|| и ||b|| - длины векторов а и b.
Для векторов а(0, 2, 3) и b(2, 4, 1) вычислим:
а * b = 0 * 2 + 2 * 4 + 3 * 1 = 0 + 8 + 3 = 11
||а|| = √(0² + 2² + 3²) = √(0 + 4 + 9) = √13
||b|| = √(2² + 4² + 1²) = √(4 + 16 + 1) = √21
Теперь вычислим косинус угла:
cos(θ) = (11) / (√13 * √21) ≈ 0.67
Таким образом, косинус угла между векторами а и b составляет примерно 0.67.
Для нахождения скалярного произведения векторов а и b, используется формула:
а * b = (Xа * Xb) + (Yа * Yb) + (Zа * Zb)
Подставим значения:
а * b = (-6 * 5) + (2 * 4) + (-3 * -1)
= (-30) + 8 + 3
= -19
Таким образом, скалярное произведение векторов а и b равно -19.
Для нахождения периметра четырехугольника ABCD с вершинами А(2, 1, 6), В(4, 0, 3), С(5, 1, 5) и D(2, 6, 3), нужно вычислить длины всех сторон и сложить их.
Длина стороны AB:
dAB = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)
= √((4 - 2)² + (0 - 1)² + (3 - 6)²)
= √(2² + (-1)² + (-3)²)
= √(4 + 1 + 9)
= √14
Длина стороны BC:
dBC = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)
= √((5 - 4)² + (1 - 0)² + (5 - 1)²)
= √(1² + 1² + 4²)
= √18
Длина стороны CD:
dCD = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)
= √((2 - 5)² + (6 - 1)² + (3 - 5)²)
= √((-3)² + 5² + (-2)²)
= √(9 + 25 + 4)
= √38
Длина стороны DA:
dDA = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)
= √((2 - 2)² + (6 - 1)² + (3 - 6)²)
= √(0² + 5² + (-3)²)
= √(0 + 25 + 9)
= √34
Теперь сложим длины всех сторон:
Периметр ABCD = dAB + dBC + dCD + dDA
= √14 + √18 + √38 + √34
Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен приблизительно √14 + √18 + √38 + √34.
Для построения фигуры, симметричной треугольнику NKM относительно:
а) довольно точки О: нужно построить треугольник N'K'M', где каждая вершина N', K', M' будет симметричной соответствующей вершине N, K, M относительно точки О. Для этого нужно отразить каждую координату вершины N, K, M относительно точки О и построить новые вершины.
б) вершины М: нужно построить треугольник N'K'M', где вершина M' будет симметричной вершине М относительно вершины М. Для этого нужно отразить каждую координату вершины М относительно вершины М и построить новую вершину.
в) середины стороны NM: нужно построить треугольник N'K'M', где вершина М' будет симметричной вершине М относительно середины стороны NM. Для этого нужно отразить каждую координату вершины М относительно середины стороны NM и построить новую вершину.
Описанные выше процессы позволят построить фигуры, симметричные треугольнику NKM относительно указанных точек.
Ответ:
С(1; –2; 4 D(–3; 3; 2).
Розв'язання:
1. Координати середини відрізка КМ можна знайти за формулою (х2+х1)/2 (у2+у1)/2 (z2+z1)/2 де К(0; –4; 8 М(–4; 2; 6):
(0-4)/2 (-4+2)/2 (8+6)/2
Отже координати середини відрізка КМ дорівнюють (-2; -1; 7).
2. Симетрична точка В відносно С буде мати такі ж координати як і точка що лежить на тій ж самій відстані від С що і В тільки в протилежному напрямку. Тому координати шуканої точки дорівнюватимуть:
(4 + (4-6 1 + (1+3 -6 + (-6-2)) = (2; 5; -14).
3. Спочатку потрібно знайти координати точки М яка є серединою відрізка ВС. Це можна зробити за формулою (х2+х1)/2 (у2+у1)/2 (z2+z1)/2 де В(2; –1; 3 С(5; 3; 2):
(2+5)/2 (-1+3)/2 (3+2)/2
Отже М має координати (3.5; 1; 2.5).
Далі потрібно знайти координати точки N яка є серединою відрізка АМ. Це можна зробити за формулою (х2+х1)/2 (у2+у1)/2 (z2+z1)/2 де А(3; –1; 4 М(3.5; 1; 2.5):
(3+3.5)/2 (-1+1)/2 (4+2.5)/2
Отже N має координати (3.25; 0; 3.25).
Залишилося знайти довжину відрізка НD і подвоїти її щоб отримати периметр чотирикутника.
Відрізок НD має наступні координати:
(3.25 - (-3 (0 - 3 (3.25 - 2)
Тобто (6.25 -3 1.25).
Довжина відрізка НD підраховується за формулою:
√[(6.25-(-3))^2 + (-3-0)^2 + (1.25-2)^2] ≈ 10.8684.
Тому периметр чотирикутника АВСN дорівнює 2*10.8684 ≈ 21.7368.
4. Косинус кута між векторами а і b обчислюється за формулою:
cosα = (a·b)/(||a|| ||b||де a (0; 2; 3 b (2; 4; 1).
Спочатку знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 0*2 +2*4 + 3*1 = 8
Далі знайдемо довжини векторів a і b за формулою:
||a|| = √(0^2 + 2^2 + 3^2) = √13||b|| = √(2^2 + 4^2 + 1^2) = √21.
Підставляємо значення в формулу для косинуса кута і отримуємо:
cosα = (8)/(√13*√21) ≈ 0.7820.
5. Скалярний добуток векторів а і b обчислюa·b = (-6*5) + (2*4) + (-3*(-1)) = -30 + 8 + 3 = -19.
Отже скалярний добуток векторів а і b дорівнює -19.
6. Спочатку знайдемо довжини сторін чотирикутника АВСD. Для цього можна використати формулу відстані між двома точками:
- довжина сторони АВ: √[(4-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-6)^2] = √14- довжина сторони ВС: √[(1-2)^2 + (3-(-1))^2 + (2-3)^2] = √26- довжина сторони СD: √[(1-(-3))^2 + (3-3)^2 + (2-2))^2] = 4- довжина сторони АD: √[(3-(-3))^2 + ((-1)-3)^2 + (4-2))^2] = √72.
Отже периметр чотирикутника АВСD дорівнює: √14 + √26 + 4 + √72 ≈ 19.688.