Question

Доведіть що ABCD прямокутник
А(-4,-1) В(-1,2) С(3,-2) Д(0,-5)
​

Answer 1

Расстояние между точками $M(x_1;\ y_1)$ и $N(x_2;\ y_2)$, то есть длина отрезка MN, определяется по формуле:

$MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Найдем длины всех его сторон:

$AB=\sqrt{(-1-(-4))^2+(2-(-1))^2} =\sqrt{3^2+3^2} =\sqrt{18}$$BC=\sqrt{(3-(-1))^2+(-2-2)^2} =\sqrt{4^2+(-4)^2} =\sqrt{32}$

$CD=\sqrt{(0-3)^2+(-5-(-2))^2} =\sqrt{(-3)^2+(-3)^2} =\sqrt{18}$

$AD=\sqrt{(0-(-4))^2+(-5-(-1))^2} =\sqrt{4^2+(-4)^2} =\sqrt{32}$

Как видно, AB=CD и BC=AD, то есть попарно противоположные стороны четырехугольника равны. Значит, этот четырехугольник - параллелограмм.

Теперь найдем длины диагоналей:

$AC=\sqrt{(3-(-4))^2+(-2-(-1))^2} =\sqrt{7^2+(-1)^2} =\sqrt{50}$

$BD=\sqrt{(0-(-1))^2+(-5-2)^2} =\sqrt{1^2+(-7)^2} =\sqrt{50}$

AС=ВD, то есть диагонали параллелограмма равны. Значит, этот параллелограмм - прямоугольник. Доказано.