Question

Помогите пожалуйста решить неравенство, желательно с объяснением

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left|\dfrac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\right|\le3$

Раскрываем модуль по определению:

$-3\le\dfrac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\le3$

Перейдем к системе неравенств:

$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\ge-3\\\\\dfrac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\le3\end{array}\right;$

Решаем каждое из них:

$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{2x^2+1}{x^2+x+1}\ge0\\\\\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\ge0\end{array}\right;$

Во втором неравенстве знак поменялся, потому что мы избавились от минуса в числителе путем умножения обеих частей неравенства на -1.

Можно решать каждое неравенство в лоб по методу интервалов, а можно посмотреть на первое из них и увидеть, что и числитель, и знаменатель положительны при любых икс (в знаменателе у квадратного трехчлена отрицательный дискриминант и ветви параболы направлены вверх). То есть решение первого неравенства системы есть икс любое число.

По той же причине положительности знаменателя вторая строка системы переписывается так:

$x^2+3x+2\ge0,\;\Rightarrow\;x\in\left(-\infty;\;-2\right]\cup\left[-1;\;+\infty\right)$

Неравенство решено!