Ответы
Для розв'язання даного диференційного рівняння, спочатку введемо заміну змінної. Позначимо y' = dy/dx і замінимо цю змінну новою змінною v. Тоді y'' = d^2y/dx^2.
Після введення заміни, початкове диференційне рівняння можна переписати в наступному вигляді:
v' - 3(v/x) = x
Тепер ми маємо лінійне диференційне рівняння першого порядку, яке можна вирішити за допомогою методу інтегруючого множника. Застосуємо цей метод до нашого рівняння.
Множимо обидві частини рівняння на x^3, щоб отримати рівняння з однаковими степенями:
x^3v' - 3x^2v = x^4
Тепер знайдемо інтегруючий множник. Для цього візьмемо похідну виразу x^3v відносно x:
d/dx (x^3v) = 3x^2v + x^3v'
Порівнюючи це з рівнянням, бачимо, що множником буде x^2.
Помножимо обидві частини рівняння на x^2:
x^5v' - 3x^4v = x^6
Тепер знайдемо загальний розв'язок цього лінійного диференційного рівняння. Він може бути знайдений шляхом інтегрування обох частин рівняння:
∫ (x^5v' - 3x^4v) dx = ∫ x^6 dx
Для лівої частини застосуємо формулу інтегрування за частинами:
∫ (x^5v' - 3x^4v) dx = x^5v - ∫ (5x^4v - 5x^4v') dx
Тепер розв'яжемо інтеграл:
x^5v - 5∫ (x^4v - x^4v') dx = ∫ x^6 dx
∫ x^6 dx = (1/7) x^7 + C1,
де C1 - довільна константа.
Тепер розглянемо інтеграл ∫ (x^4v - x^4v') dx:
∫ (x^4v - x^4v') dx = ∫ (x^4v) dx - ∫ (x^4v') dx
Перший інтеграл можна виразити як:
∫ (x^4v) dx = ∫ (x^4) dv = (1/5) x^5v + C2,
де C2 - довільна константа.
Другий інтеграл можна виразити як:
∫ (x^4v') dx = ∫ (x^4) dv = (1/5) x^5v + C3,
де C3 - довільна константа.
Замінюємо значення інтегралів у початковому рівнянні:
x^5v - 5((1/5) x^5v + C2 - (1/5) x^5v + C3) = (1/7) x^7 + C1
Спрощуємо вираз:
x^5v - x^5v + 5(C3 - C2) = (1/7) x^7 + C1
5(C3 - C2) = (1/7) x^7 + C1
C4 = (1/7) x^7 + C1,
де C4 = 5(C3 - C2) - довільна константа.
Отже, загальний розв'язок диференційного рівняння є:
x^5v = (1/7) x^7 + C1 + C4
Для відновлення розв'язку у формі функції y(x), ми використовуємо заміну v = y':
x^5y' = (1/7) x^7 + C1 + C4
Тепер інтегруємо обидві частини рівняння відносно x:
∫ x^5y' dx = ∫ ((1/7) x^7 + C1 + C4) dx
(1/6) x^6y = (1/56) x^8 + C1x + C4x + C5
x^6y = (1/8) x^8 + (1/6) C1x^7 + (1/6) C4x^6 + C5x,
де C5 - довільна константа.
Остаточно отримуємо розв'язок диференційного рівняння у формі:
y(x) = (1/8) x^2 + (1/6) C1x + (1/6) C4x^5 + C5/x^6,
де C1, C4 і C5 - довільні константи.