Question

використовуючи виділення повного квадрату в знаменнику підінтегрального виразу, Срочно

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle \int\limits {\frac{3 \cdot x+1}{x^2-x-6} } \, dx =2 \cdot ln|x-3|+ln|x+2|+C$

Пошаговое объяснение:

Перевод: Интегрировать используя выделение полного квадрата в знаменателе подынтегрального выражения

$\tt \displaystyle \int\limits {\frac{3 \cdot x+1}{x^2-x-6} } \, dx .$

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегрального выражения:

$\tt \displaystyle I=\int\limits {\frac{3 \cdot x+1}{x^2-x-6} } \, dx =\int\limits {\frac{3 \cdot x+1}{x^2-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x+\dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{4} -6} } \, dx =\int\limits {\frac{3 \cdot x+1}{(x-\dfrac{1}{2} )^2-6\dfrac{1}{4}} } \, dx.$

Сделаем замену переменных

$\tt t=x-\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=t+\dfrac{1}{2}, dx=dt,$

$\tt \displaystyle I=\int\limits {\frac{3 \cdot (t+\dfrac{1}{2} )+1}{t^2-\dfrac{25}{4}} } \, dx=\int\limits {\frac{3 \cdot t+\dfrac{3}{2} +1}{t^2-(\dfrac{5}{2})^2} } \, dx=\int\limits {\frac{3 \cdot t+2,5}{(t-2,5) \cdot (t+2,5)} } \, dx.$

Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых дробей:

$\tt \displaystyle \frac{3 \cdot t+2,5}{(t-2,5) \cdot (t+2,5)} } =\frac{A}{t-2,5} }+ \frac{B}{t+2,5} } \\\\\frac{3 \cdot t+2,5}{(t-2,5) \cdot (t+2,5)} } =\frac{A \cdot (t+2,5)+B \cdot (t-2,5)}{(t-2,5) \cdot (t+2,5)} }} .$

Получаем равенство

A·(t+2,5)+B·(t-2,5) = 3·t+2,5 или A·t+2,5·А+B·t-2,5·В = 3·t+2,5.

Приравнивая коэффициенты многочленов получим систему линейных уравнений:

$\displaystyle \tt \left \{ {{A+B=3} \atop {2,5 \cdot A -2,5 \cdot B=2,5}} \right.$

Из системы определим коэффициенты А и В:

$\displaystyle \tt \left \{ {{A+B=3} \atop {A-B=1}} \right. \\\\\left \{ {{B=3-A} \atop {A-(3-A)=1}} \right. \\\\ \left \{ {{B=3-A} \atop {2 \cdot A=4}} \right. \\\\ \left \{ {{B=3-2=1} \atop {A=2}} \right. .$

Теперь вычислим интеграл

$\tt \displaystyle I =\int\limits {\left (\frac{2}{t-2,5} }+ \frac{1}{t+2,5} \right )} } \, dx =\int\limits {\frac{2}{t-2,5} } } \, dx +\int\limits {\frac{1}{t+2,5} } \, dx =\\\\=2 \cdot ln|t-2,5|+ln|t+2,5|+C.$

Сделаем обратную замену $\tt t=x-\dfrac{1}{2}$:

$\tt \displaystyle I =2 \cdot ln|x-\frac{1}{2} -2,5|+ln|x-\frac{1}{2} +2,5|+C=2 \cdot ln|x-3|+ln|x+2|+C.$

#SPJ1