Question

помогите решить логарифмическое неравенство ​

Answer 1

$\sqrt{-1+\log_{1/3}x} < -3-2\log_9x\Leftrightarrow -1+\log_{1/3} < \left ( -3-2\log_9x \right )^2\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow -1+\log_{1/3}x < 4\log^2_9x+12\log_9x+9=4\left ( \log_{3^2}x \right )^2+6\log_{3^2}x+9\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow -1-\log_3x < \log_3^2+6\log_3x+9\Leftrightarrow \log_3^2+7\log_3x+10 > 0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \left ( \log_3x+5 \right )\left ( \log_3x+2 \right ) > 0\Rightarrow x\in \left ( 0,\frac{1}{243} \right )\cup \left ( \frac{1}{9},\infty \right )$

Теперь осталось учесть все ограничения

$\begin{cases}x > 0\\-3-2\log_9x\geq 0\\-1+\log_{1/3}x\geq 0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x > 0\\x\leq \cfrac{1}{27}\\x\leq \cfrac{1}{3}\end{cases}\Rightarrow x\in \left ( 0,\cfrac{1}{3} \right ]$

Ответ:

$x\in \left ( 0,\cfrac{1}{243} \right )$