Question

При каких значениях $\alpha$ функция

$y=\left \{ {{|x|^{\alpha }sin\frac{1}{x},\ x\neq0 } \atop {0, \ x=0}} \right.$

в точке х0=0:

а) непрерывна;

b) имеет производную;

c) имеет непрерывную производную.

Answer 1

1) Непрерывна, если $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}=0$ и это верно для всех $\alpha > 0$ (теорема о сжатии)

2) Производная: $\exists f'(0)\Leftrightarrow \exists \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\text{finite}=\infty$ только если существует конечный предел из $\underset{{}}{\mathop{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \frac{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}{x}}}\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha -1}}\sin \frac{1}{x}=0$, следовательно $\alpha > 1$

3) Непрерывная производная $f(a)\leq 1, \; f(x)=\frac{y_x-y_0}{x}\Rightarrow \lim\left (f(x_n)-f(y) \right )=\lim xn^{1-\alpha }\neq 0\Rightarrow \alpha > 2$