Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$y'=\dfrac{x+2y-3}{x-1}\\\\y'=\dfrac{x-1+2(y-1)}{x-1}\\\\y'=1+2\cdot\dfrac{y-1}{x-1}$

Замена: $x-1=u,\;y-1=v$.

$v'=1+2\cdot\dfrac{v}{u}$

Замена: $v=zu,\;\Rightarrow\;v'=v'_{u}=z'u+z$.

$z'u+z=1+2\cdot\dfrac{zu}{u}\\\\z'u=1+z\\\\\dfrac{dz}{1+z}=\dfrac{du}{u}$

$z=-1,\;\Rightarrow\;\dfrac{v}{u}=-1,\;\Rightarrow\;\dfrac{y-1}{x-1}=-1,\;\Rightarrow\;y=-x+2$ - особое решение

$\int\dfrac{dz}{1+z}=\int\dfrac{du}{u}$

$\ln|1+z|=\ln C|u|$

$|1+z|=C|u|$

$1+z=Cu,\;C\in\mathbb{R}$

$z=Cu-1\\\\\dfrac{v}{u}=Cu-1\\\\\dfrac{y-1}{x-1}=C(x-1)-1\\\\y=C(x-1)^2-x+2$

Отметим, что указанное нами выше особое решение входит в общее при $C=0$.

Уравнение решено!