З 2 пунктів, відстань між ними 20 км, вийшли на зустріч одночасно 2 туристи, і зустрілись через 2 год. Визначити шв. кожного туриста, якщо 1 туристу на весь шлях треба на 1год 40хв більше, ніж другому.
Ответы
Відповідь:
Швидкість першого туриста 4 км/год., а швидкість другого туриста 6 км/год.
Пояснення:
Позначимо швидкість першого туриста як V1, а швидкість другого туриста як V2.
Ми будемо використовувати формули:
А) для знаходження відстані ( S ), яку подолав турист, що рухався зі швидкістю ( V ) впродовж часу ( t ):
S = V × t
В) для знаходження часу ( t ), якій необхідно витратити туристу, для того, щоб подолати відстань ( S ), за умови, що він рухається зі швидкістю ( V ):
t = S / V
1) Два туристи за дві години разом подолали відстань у 20 км.
Перший турист за дві години подолав відстань у 2 × V1 км, а другий турист за той самий час подолав відстань у 2 × V2 км.
Отримаємо рівняння:
2V1 + 2V2 = 20
Розділимо обидві частини рівняння на два:
V1 + V2 = 10
Виразимо V2 через V1:
V2 = 10 - V1 ( 1 )
2) Першому туристу на весь шлях треба на 1 годину та 40 хвилин ( або 1 2/3 = 5/3 години ) більше, ніж другому.
Перший турист подолає весь шлях за ( 20 / V1 ) годин, а другий турист подолає ту саму відстань за ( 20 / V2 ) годин.
Отримаємо рівняння:
20 / V1 - 20 / V2 = 5/3
Розділимо обидві частини рівняння на двадцять:
1 / V1 - 1 / V2 = 5/60 = 1/12
Підставимо формулу ( 1 ) до нашого рівняння:
1 / V1 - 1 / ( 10 - V1 ) = 1/12
Приведемо рівняння до спільного знамінника V1 × ( 10 - V1 ), та помножимо на нього обидві частини рівняння:
10 - V1 - V1 = 1/12 × V1 × ( 10 - V1 )
Помножимо обидві частини рівняння на дванадцять:
120 - 24V1 = 10V1 - V1²
V1² - 34V1 + 120 = 0
Вирішимо квадратне рівняння.
Знайдемо дискрімінант:
D = 34² - 4 × 120 = 1 156 - 480 = 676
Знайдемо корні квадратного рівняння:
V1₁ = ( 34 + √ ( 676 ) ) / 2 = ( 34 + 26 ) / 2 = 60 / 2 = 30 км/год.
V1₂ = ( 34 - √ ( 676 ) ) / 2 = ( 34 - 26 ) / 2 = 8 / 2 = 4 км/год.
Перший корінь ми відкидаємо, оскільки за умовами задачи двом туристам, що рухаються разом на подолання відстань у 20 км потрібні дві години, а при швидкісті у 30 км/год. перший турист подолає цю відстань меньш ніж зі годину.
Отже швидкість першого туриста 4 км/год., а швидкість другого туриста 10 - 4 = 6 км/год. ( ми використали формулу ( 1 ) ).
Перевірка:
1) Перший турист за дві години подолав відстань у 2 × 4 = 8 км, а другий турист за той самий час подолав відстань у 2 × 6 = 12 км.
Два туристи за дві години разом подолали відстань у 8 + 12 = 20 км.
2) Перший турист подолає весь шлях за 20 / 4 = 5 годин, а другий турист подолає ту саму відстань за 20 / 6 = 10/3 = 3 та 1/3 години.
Першому туристу на весь шлях треба на 5 - 3 1/3 = 1 2/3 години або 1 годину та 40 хвилин більше, ніж другому.
Все вірно.