Ответы
Ответ:
Давайте дослідимо функцію f(x) = (2x^3)/(x^2-4) на зростання, спадання та знайдемо екстремуми.
1. Дослідження на зростання/спадання функції:
Почнемо з області визначення функції. Функція визначена для всіх x, для яких x^2-4 не дорівнює 0. Оскільки (x^2-4) = (x+2)(x-2), функція не визначена при x = 2 або x = -2.
Тепер знайдемо похідну f'(x) за допомогою правила диференціювання частки та правила диференціювання степеневої функції:
f(x) = (2x^3)/(x^2-4)
f'(x) = [ (2*3x^2(x^2-4) - 2x^3*2x) ] / (x^2-4)^2
f'(x) = [ 6x^2(x^2-4) - 4x^4) ] / (x^2-4)^2
f'(x) = [ 6x^4 - 24x^2 - 4x^4] / (x^2-4)^2
f'(x) = [ 2x^4 - 24x^2 ] / (x^2-4)^2
f'(x) = 2x^2(x^2 - 12) / (x^2-4)^2
Тепер знайдемо точки перегину і екстремуми за допомогою другої похідної.
2. Точки перегину функції:
Знайдемо другу похідну f''(x) функції:
f''(x) = (12x^2 - 24) / (x^2-4)^3
Тепер знайдемо точки перегину, рівняння які: f''(x) = 0.
12x^2 - 24 = 0
12x^2 = 24
x^2 = 24/12
x^2 = 2
x = ±√2
Отже, точки перегину рівні x = √2 та x = -√2.
3. Екстремуми функціў
Для пошуку екстремумів використаємо похідну f'(x). Шукаємо значення x, де похідну дорівнює нулю або не існуючій:
2x^2(x^2 - 12) / (x^2-4)^2 = 0
Це дає нам дві можливі точки екстремуму: x = 0, x = ±√12