Question

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 треба розбити на дві частини, в одній з яких 4 числа, а в другій - 5 чисел, і це розбиття має задовольняти таку умову. Якщо розглянути добуток чисел кожної групи, то одне з цих чисел ділиться націло на інше. Скількома способами це можна зробити?

срочно!!!

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

Пускай произведение в одной группе будет равно $A$, а произведение в другой группе будет равно $B$. Так как произведение второй группы делится на произведение первой, $B=A*n$. А поскольку произведение обеих групп будет равно произведению всех чисел, которое, кстати говоря, равно $1*2*3\dots*9=9! = 362880$, имеем

$n=\frac{B}{A}=\frac{B*B}{A*B}=\frac{B^2}{362880}$.

То есть, такое разбитие возможно тогда и только тогда, когда $B^2$ делится на $362880$.

Теперь рассмотрим множители $B^2$ (а потом рассмотрим и множители самого числа $B$). Поскольку оно делится на $362880$, все множители этого числа являются также и множителями $B^2$.

Разложим на множители $362880=9!$. Итак, $362880 = 9! = 2*3*4*5*6*7*8*9=2*3*2^2*5*2*3*7*2^3*3^2=(2*2^2*2*2^3)*(3*3*3^2)*5*7=2^7*3^4*5*7$.

Теперь, воспользуясь этим, найдём множители $B$.

Итак, двойка входит в $B$ как минимум 4 раза (потому что уже$(2^3)^2 = 2^6 < 2^7$, следовательно, в множителях $B^2$ было бы меньше двоек, чем 7, следовательно, оно не делилось бы на $362880$)

Аналогично тройка входит в $B$ как минимум 2 раза, а 5 и 7 - как минимум один раз.

Однако, чтобы $B$ делилось на 5 и 7, какие-то числа от 2 до 9, которые мы использовали, чтобы получить $B$, должны делится на 5 и на 7 (одно какое-то число делится на 5, другое на 7). Но единственные числа, которые есть среди начальных и делятся на 5 или на 7 - это сами 5 и 7!

Следовательно, чтобы получить эту группу, нам обязательно надо использовать числа 5 и 7!!

Итак, теперь осталось найти остальные два (или три) числа, которые использовались, чтобы составить группу $B$. Рассмотрим множители числа $\frac{B}{5*7}$ - это как минимум четыре двойки и как минимум две тройки.

То есть, $\frac{B}{5*7}$ делится на $2^4*3^2=16*9=144$.

Наибольшее возможное произведение двух различных чисел, меньших или равных 9, равно $8*9=72$. Cледовательно, в группе $B$ пять чисел, а нам осталось найти три.

Наша задача, таким образом, свелась к тому, чтобы найти три разных числа от 1 до 9 включительно (7 и 5 использовать нельзя), произведение которых делится на 144.

Чтобы наше произведение имело в множителях две тройки, надо использовать либо 3 и 6 одновременно, либо 9. Если мы используем 3 и 6 одновременно, у нас останется только 1 число, которое должно делится на $\frac{144}{3*6}=8$. Такое число всего одно, и оно равно 8.

То есть, найдено одно решение - $B =\{3,6,8,5,7\}, A=\{1,2,4,9\}$, а во всех остальных решениях в $B$ входит также и число 9.

Итак, осталось всего лишь навсего найти два числа, произведение которых делится на $\frac{144}{9}=16$.

Для этого разложим 16 на множители: $16 = 2^4$. Следовательно, чтобы произведение двух чисел имело в себе хотя бы четыре двойки, одно из чисел должно иметь в себе хотя бы две двойки (сумма двух чисел, меньших 2, меньше, чем 2+2=4).

Таких чисел только два: это 4 и 8.

Допустим, что одно из чисел равно 4. Тогда второе число делится на $\frac{16}{4}=4$ и оно точно равно 8.

Допустим, что одно из чисел равно 8. Тогда второе число делится на $\frac{16}{8}=2$ и оно равно либо 2, либо 4, либо 6. Однако вариант, когда это число равно 4, мы уже учли. Следовательно, остались остальные два варианты.

Чтобы было понятнее, запишем эти варианты:

1. $B = \{3,5,6,7,8\}, A = \{1,2,4,9\};$
2. $B=\{4,5,7,8,9\},A = \{1,2,3,6\};$
3. $B=\{2,5,7,8,9\},A=\{1,3,4,6\};$
4. $B=\{5,6,7,8,9\},A=\{1,2,3,4\};$

Итак, ответ: этих вариантов всего 4.