Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 треба розбити на дві частини, в одній з яких 4 числа, а в другій - 5 чисел, і це розбиття має задовольняти таку умову. Якщо розглянути добуток чисел кожної групи, то одне з цих чисел ділиться націло на інше. Скількома способами це можна зробити?
срочно!!!
Ответы
Ответ:
4
Пошаговое объяснение:
Пускай произведение в одной группе будет равно , а произведение в другой группе будет равно
. Так как произведение второй группы делится на произведение первой,
. А поскольку произведение обеих групп будет равно произведению всех чисел, которое, кстати говоря, равно
, имеем
.
То есть, такое разбитие возможно тогда и только тогда, когда делится на
.
Теперь рассмотрим множители (а потом рассмотрим и множители самого числа
). Поскольку оно делится на
, все множители этого числа являются также и множителями
.
Разложим на множители . Итак,
.
Теперь, воспользуясь этим, найдём множители .
Итак, двойка входит в как минимум 4 раза (потому что уже
, следовательно, в множителях
было бы меньше двоек, чем 7, следовательно, оно не делилось бы на
)
Аналогично тройка входит в как минимум 2 раза, а 5 и 7 - как минимум один раз.
Однако, чтобы делилось на 5 и 7, какие-то числа от 2 до 9, которые мы использовали, чтобы получить
, должны делится на 5 и на 7 (одно какое-то число делится на 5, другое на 7). Но единственные числа, которые есть среди начальных и делятся на 5 или на 7 - это сами 5 и 7!
Следовательно, чтобы получить эту группу, нам обязательно надо использовать числа 5 и 7!!
Итак, теперь осталось найти остальные два (или три) числа, которые использовались, чтобы составить группу . Рассмотрим множители числа
- это как минимум четыре двойки и как минимум две тройки.
То есть, делится на
.
Наибольшее возможное произведение двух различных чисел, меньших или равных 9, равно . Cледовательно, в группе
пять чисел, а нам осталось найти три.
Наша задача, таким образом, свелась к тому, чтобы найти три разных числа от 1 до 9 включительно (7 и 5 использовать нельзя), произведение которых делится на 144.
Чтобы наше произведение имело в множителях две тройки, надо использовать либо 3 и 6 одновременно, либо 9. Если мы используем 3 и 6 одновременно, у нас останется только 1 число, которое должно делится на . Такое число всего одно, и оно равно 8.
То есть, найдено одно решение - , а во всех остальных решениях в
входит также и число 9.
Итак, осталось всего лишь навсего найти два числа, произведение которых делится на .
Для этого разложим 16 на множители: . Следовательно, чтобы произведение двух чисел имело в себе хотя бы четыре двойки, одно из чисел должно иметь в себе хотя бы две двойки (сумма двух чисел, меньших 2, меньше, чем 2+2=4).
Таких чисел только два: это 4 и 8.
Допустим, что одно из чисел равно 4. Тогда второе число делится на и оно точно равно 8.
Допустим, что одно из чисел равно 8. Тогда второе число делится на и оно равно либо 2, либо 4, либо 6. Однако вариант, когда это число равно 4, мы уже учли. Следовательно, остались остальные два варианты.
Чтобы было понятнее, запишем эти варианты:
Итак, ответ: этих вариантов всего 4.