Очень надо,как можно быстрее!!!!!!!Баллами не обижу
1. Обчисли площу фігури, обмеженої лініями: у=√х+3,х=2,у=0
2.Обчисли площу S криволінійної трапеції,обмеженої графіком функції f(x)=x²,прямими у=0,х=3 і х=6(вводь у вигляді скороченого дробу.Якщо виходить ціле число,в знаменнику пиши 1)
3.Обчисли площу фігури, обмеженої лініями у=х,у=7-х,х=0,х=3
4.Обчисли площу фігури, обмеженої лініями у=х²-6х-6,у=6х+8-х²
Ответы
Ответ:
1. Для обчислення площі фігури обмеженої лініями у=√х+3, х=2, у=0, ми повинні шукати площу під кривою y = √x + 3 від x = 0 до x = 2.
S = ∫[0, 2] (√x + 3)dx
Щоб інтегрувати цю функцію, спочатку знайдемо її незалежну й залежну змінні:
Припустимо, що u = √x + 3. Тоді, x = (u - 3)².
Змінюємо межі інтегрування:
x = 0 -> u = √0 + 3 = 3
x = 2 -> u = √2 + 3
Замінюємо змінну в інтегралі:
S = ∫[3, √2 + 3] u du
Інтегруємо:
S = 1/2 * u² |[3, √2 + 3]
S = 1/2 * ((√2 + 3)² - 3²)
S = 1/2 * ((√2 + 3)² - 9)
S = 1/2 * (2 + 6√2 + 9 - 9)
S = 1/2 * (2 + 6√2)
S = √2 + 3
Таким чином, площа фігури обмеженої лініями у = √x + 3, х = 2, у = 0 дорівнює √2 + 3.
2. Для обчислення площі S криволінійної трапеції обмеженої графіком функції f(x) = x², прямими у = 0, х = 3 і х = 6, використовуємо формулу:
S = ∫[a, b] |f(x)| dx
Точки перетину функції x² з прямими y = 0, x = 3 і х = 6 є (0, 0), (3, 9) і (6, 36).
Точки a і b для інтегрування виражаються як перетин (3, 9) і (6, 36):
S = ∫[3, 6] |x²| dx
S = ∫[3, 6] x² dx
Інтегруємо:
S = 1/3 * x³ |[3, 6]
S = 1/3 * (6³ - 3³)
S = (6³ - 3³)/3
S = (216 - 27)/3
S = 189/3
S = 63
Таким чином, площа криволінійної трапеції дорівнює 63.
3. Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = x, у = 7 - x, х = 0, х = 3, ми маємо зробити два окремі розрахунки за допомогою формули площі трапеції:
Спочатку, ми маємо трапецію, обмежену у = x, у = 7 - x, х = 0, х = 3:
S1 = ((a + b)/2) * h
З нашими межами a = 0, b = 3 і h = 7 - 0 = 7, маємо:
S1 = ((0 + 3)/2) * 7
S1 = (3/2) * 7
S1 = 21/2
Друга трапеція обмежена х = 0, х = 3, у = 0, у = 7 - x:
S2 = ((a + b)/2) * h
З нульовими межами a = 0, b = 3 і h = 7 - 3 = 4, отримуємо:
S2 = ((0 + 3)/2) * 4
S2 = (3/2) * 4
S2 = 12/2
Складаємо площі обох трапецій, щоб отримати загальну площу фігури:
S = S1 + S2
S = 21/2 + 12/2
S = 33/2
Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = x, у = 7 - x, х = 0, х = 3, дорівнює 33/2.
4. Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = х² - 6х - 6, у = 6х + 8 - х², ми повинні знайти точки перетину цих двох функцій, щоб знайти межі інтегрування.
Спочатку знаходимо точки перетину:
х² - 6х - 6 = 6х + 8 - х²
2х² - 12х - 14 = 0
х² - 6х - 7 = 0
(х - 7)(х + 1) = 0
х = 7 або х = -1
Точки перетину для обчислення площі:
-1 і 7
Знаходимо площу, використовуючи формулу:
S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx
З нашими межами a = -1 і b = 7, функція f(x) = х² - 6х - 6 і g(x) = 6х + 8 - х², отримуємо:
S = ∫[-1, 7] |(х² - 6х - 6) - (6х + 8 - х²)| dx
S = ∫[-1, 7] |2х² - 12х - 14| dx
Далі, ми маємо розділити інтеграл на два окремі інтеграли, для випадків коли функція в модулі є позитивною і негативною:
S = ∫[-1, 3] (2х² - 12х - 14) dx + ∫[3, 7] -(2х² - 12х - 14) dx
Інтегруємо обидва інтеграли:
S = (2/3)х³ - 6х² - 14х |[-1, 3] - (2/3)х³ + 6х² + 14х |[3, 7]
S = [(2/3)(3)³ - 6(3)² - 14(3)] - [(2/3)(-1)³ - 6(-1)² - 14(-1)] - [(2/3)(7)³ - 6(7)² - 14(7)] + [(2/3)(3)³ - 6(3)² - 14(3)]
S = [ (2/3)(27) - 54 - 42] - [(2/3)(-1) +