Ответы
Ответ:Дана функция у = 2х² - х⁴.1.Область определения функции: x ∈ R, или -∞ < x < ∞.2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.2х² - х⁴ = 0, х²(2 - х²) = 0. Тогда х² = 0 и (или) 2 - х² = 0.x₁ = 0.x₂ = √2.х₃ = -√2.Точки пересечения графика функции с осью ОУ при х = 0 ⇒ у = 0.3. Промежутки знакопостоянства функции.Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.По пункту 2 имеем 4 промежутка значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:(−∞;−√2), (−√2;0), (0;√2), (√2;+∞).Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, надо найти значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений.x = -2 -1 1 2y = -8 1 1 -8.В промежутках (−∞;−√2) и (√2;+∞) функция принимает отрицательные значения, в промежутках (−√2;0) и (0;√2) функция принимает положительные значения.4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем:- x^{4} + 2 x^{2} = - x^{4} + 2 x^{2}- Да- x^{4} + 2 x^{2} = - -1 x^{4} - 2 x^{2}- НетЗначит, функция является чётной.5. Периодичность графика - нет. 6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - нет.7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.Находим производную заданной функции:y' = 4x - 4x³.Приравниваем производную нулю: 4x - 4x³ = 4x(1 - x²) = 0, 4x = 0, x = 0. x² = 1, х = 1, x = -1.Критических точек три: х = 0, х = 1, x = -1.Находим значения производной левее и правее от критических.x = -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 y' = 24 0 -1.5 0 1.5 0 -24.Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Убывает на промежутках (-oo, -1] U [0, oo).Возрастает на промежутках (-oo, 0] U [1, oo).8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0(вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.Вторая производная 4 \left(- 3 x^{2} + 1\right) = 0.Решаем это уравнение.Корни этого уравнения:x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:Вогнутая на промежутках [-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3].Выпуклая на промежутках (-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo).9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - нет.10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.11. Построение графика функции - дан в приложении.
Объяснение: