Question

Решить оба, всё подробно расписать

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf 1)\;\;\;\int\limits \frac{dx}{\sqrt{2+4x-3x^2} }=\frac{1}{\sqrt{3} } \;arcsin\frac{3x-2}{\sqrt{10} } +C$

$\displaystyle \bf 2)\;\;\;\int\limits {\frac{5x+1}{x^2-4x+1} } \, dx\displaystyle =\frac{5}{2} \;ln|x^2-4x+1|+\frac{11}{2\sqrt{3} } \;ln\bigg|\frac{x-2-\sqrt{3} }{x-2+\sqrt{3}}\bigg| +C$

Пошаговое объяснение:

Вычислить интегралы:

$\displaystyle \bf 1)\;\;\;\int\limits \frac{dx}{\sqrt{2+4x-3x^2} }$

Преобразуем знаменатель, чтобы воспользоваться табличным интегралом:

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2} } =arcsin\frac{x}{a} +C}$

$\displaystyle \sqrt{2+4x-3x^2}=\sqrt{-3\left(x^2-\frac{4}{3}x-\frac{2}{3} \right) } =\sqrt{3} \cdot \sqrt{-\left(x^2-2\cdot\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}-\frac{4}{9}-\frac{2}{3} \right) } =\\\\\\=\sqrt{3}\cdot\sqrt{-\left(\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{10}{9}\right) } =\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{10}{9} -\left(x-\frac{2}{3}\right)^2 }$

Получили интеграл:

$\displaystyle \int\limits \frac{dx}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{10}{9} -\left(x-\frac{2}{3}\right)^2 } } =\frac{1}{\sqrt{3} } \;arcsin\frac{x-\frac{2}{3} }{\frac{\sqrt{10} }{3} } =\\\\\\=\frac{1}{\sqrt{3} } \;arcsin\frac{3x-2}{\sqrt{10} } +C$

$\displaystyle \bf 2)\;\;\;\int\limits {\frac{5x+1}{x^2-4x+1} } \, dx$

Здесь преобразуем числитель:

$\displaystyle 5x+1=\frac{5}{2}\cdot2x+\frac{5}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{5}{2} \left(2x+\frac{2}{5}\right)=\frac{5}{2}\left(2x-4+4+\frac{2}{5} \right)=\\ \\ \\ =\frac{5}{2} \left(2x-4+\frac{22}{5}\right)$

Получили интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{\frac{5}{2} \left(2x-4+\frac{22}{5}\right)}{x^2-4x+1} } \, dx =\frac{5}{2} \int\limits {\frac{2x-4}{x^2-4x+1} } \, dx +\frac{5}{2}\cdot\frac{22}{5}\int\limits \frac{dx}{x^2-4x+1} =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Вычислим первый интеграл.

Замена переменной:

х² - 4х + 1 = t   ⇒   (2x - 4)dx = dt

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits \frac{dx}{x} =ln|x|+C}$

$\displaystyle \frac{5}{2} \int\limits \frac{dt}{t}=\frac{5}{2} \; ln|t|=\frac{5}{2}\;ln|x^2-4x+1|+C$

Вычислим второй интеграл, выделив в знаменателе полный квадрат:

$\displaystyle 11\int\limits \frac{dx}{x^2-4x+4-3} =11\int\limits \frac{dx}{(x-2)^2-3} =11\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}\;ln\bigg| \frac{x-2-\sqrt{3} }{x-2+\sqrt{3} } \bigg|+C$

Формула:

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits \frac{dx}{x^2-a^2} =\frac{1}{2a} ln\bigg|\frac{x-a}{x+a} \bigg|+C}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle =\frac{5}{2} \;ln|x^2-4x+1|+\frac{11}{2\sqrt{3} } \;ln\bigg|\frac{x-2-\sqrt{3} }{x-2+\sqrt{3}}\bigg| +C$