Question

Линеаризовать функцию в окрестности точки ​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \boldsymbol {z(M)\approx 0,5+0,5\bigg(x-\frac{\pi }{4} \bigg)-0,5\bigg(x-\frac{\pi }{4} \bigg)}$

Объяснение:

Находим частные производные в точке     $\displaystyle M\bigg( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \bigg)$

$\displaystyle z'_x(M)=\frac{\partial z}{\partial x}_{(M)}=cos(x)cos(y)_{(M)}=cos\bigg(\frac{\pi }{4} \bigg)*cos\bigg(\frac{\pi }{4} \bigg)=\frac{1}{2} \\\\\\ z'_y(M)= \frac{\partial z}{\partial y}_{(M)}=-sin(x)sin(y)_{(M)}=-sin\bigg(\frac{\pi }{4} \bigg)*sin\bigg(\frac{\pi }{4} \bigg)=-\frac{1}{2}$

Еще нам понадобится значение функции в точке    $\displaystyle M\bigg( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \bigg)$

$\displaystyle z_{(M)}=sin\bigg(\frac{\pi }{4} \bigg)*cos\bigg(\frac{\pi }{4} \bigg)=\frac{1}{2}$

Ну вот, все готово для функции линеаризации

$\displaystyle z(M)\approx z(M)+z'_x(M)(x-x_0)+z'_y(M(y-y_0))$

Подставим наши данные

$\displaystyle z(M)\approx 0,5+0,5\bigg(x-\frac{\pi }{4} \bigg)-0,5\bigg(x-\frac{\pi }{4} \bigg)$