Question

Сколько существует натуральных чисел 1 до 200 таких , что если перемножить все делители числа n (включая 1 и n), получим число n⁵

Answer 1

Заметим, что натуральное число 1 имеет один делитель (само себя), а также, что любая степень этого числа, в том числе и 5-ая, совпадает с этим числом. Значит, число 1 удовлетворяет условию задачи.

$N=\boxed{1}$

Пусть некоторое натуральное число N>1 имеет k делителей. Выпишем эти делители в порядке возрастания:

$D(N):\ d_1;\ d_2;\ d_3;\ \ldots;\ d_{k-1};\ d_{k}$

Если число N является точным квадратом, то оно имеет нечетное число делителей: $k=2m+1$:

$D(N):\ d_1;\ d_2;\ \ldots;\ d_{m};\ d_{m+1};\ d_{m+2};\ \ldots;\ d_{2m};\ d_{2m+1}$

Причем:

$d_1d_{2m+1}=d_2d_{2m}=\ldots=d_md_{m+2}=d_{m+1}^2=N$

При нахождении произведения всех делителей один из делителей (корень из точного квадрата) останется без пары, и итоговое произведение не будет целой степенью числа N.

Таким образом, числа, являющиеся точным квадратом не удовлетворяют условию задачи.

Если число N не является точным квадратом, то оно имеет четное число делителей: $k=2m$:

$D(N):\ d_1;\ d_2;\ \ldots;\ d_{m};\ d_{m+1};\ \ldots;\ d_{2m-1};\ d_{2m}$

Причем:

$d_1d_{2m}=d_2d_{2m-1}=\ldots=d_md_{m+1}=N$

Поскольку все делители разбились на пары, а произведение каждой пары равно N, то произведение всех делителей в этом случае равно $N^m$.

По условию, нас интересует ситуация, когда произведение всех делителей числа равно пятой степени этого числа: $N^5$.

Это означает, что $m=5$, а значит само число должно иметь $k=2m=2\cdot5=10$ делителей.

Вспомним формулу для определения количества делителей некоторого числа. Для числа $N$:

$N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_r^{a_r}$, где $p_i$ - простые числа, количество делителей определяется по формуле:

$d_N=(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_r+1)$

Как было определено выше, число должно иметь 10 делителей. Число 10 можно разложить на множители двумя способами: $10=10\cdot1=5\cdot2$.

Если рассматривать вариант с разложением $10=10\cdot1$, то:

$a_1+1=10;\ a_2+1=1\Rightarrow a_1=9;\ a_2=0$

Тогда, число N должно иметь вид:

$N=p_1^9$

Поскольку наименьшее простое число равно 9, то наименьшее значение $N=2^9=512$, что не удовлетворяет условию задачи от том, что N - число в диапазоне от 1 до 200.

Рассмотрим вариант с разложением $10=5\cdot2$:

$a_1+1=5;\ a_2+1=2\Rightarrow a_1=4;\ a_2=1$

Тогда, число N должно иметь вид:

$N=p_1^4\cdot p_2$

Поскольку четвертая степень сильнее влияет на число, то начнем перебирать простые числа $p_1$ в порядке возрастания.

Если $p_1=2$, то:

$N=2^4\cdot p_2=16p_2$

Поскольку нас интересуют числа $N\leqslant 200$, то:

$16p_2\leqslant 200$

$p_2\leqslant 12.5$

Простые числа, удовлетворяющие полученному неравенству: 2; 3; 5; 7; 11. Заметим, что число $p_2=2$ совпало с рассматриваемым числом $p_1=2$, но по смыслу разложения числа $N=p_1^4\cdot p_2$ на простые множители, значения $p_1$ и $p_2$ должны быть различны.

Поэтому, имеется 4 варианта:

$p_2=3\Rightarrow N=2^4\cdot3=\boxed{48}$

$p_2=5\Rightarrow N=2^4\cdot5=\boxed{80}$

$p_2=7\Rightarrow N=2^4\cdot7=\boxed{112}$

$p_2=11\Rightarrow N=2^4\cdot11=\boxed{176}$

Если $p_1=3$, то:

$N=3^4\cdot p_2=81p_2$

Вновь учтем условие $N\leqslant 200$:

$81p_2\leqslant 200$

$p_2\leqslant \dfrac{200}{81}$

Единственное простое число, удовлетворяющее этому неравенству - это число 2.

Тогда, получим один новый вариант:

$p_2=2\Rightarrow N=3^4\cdot2=\boxed{162}$

Если $p_1\geqslant 5$, то:

$N\geqslant 5^4\cdot p_2=625p_2$

При любых простых числах $p_2$, число $N$ будет больше 200. Поэтому, эти случаи не дают решений.

Таким образом, всего есть 6 чисел, удовлетворяющих условию задачи: 1; 48; 80; 112; 162; 176.

Ответ: 6 чисел