Сколько существует натуральных чисел 1 до 200 таких , что если перемножить все делители числа n (включая 1 и n), получим число n⁵
Ответы
Заметим, что натуральное число 1 имеет один делитель (само себя), а также, что любая степень этого числа, в том числе и 5-ая, совпадает с этим числом. Значит, число 1 удовлетворяет условию задачи.
Пусть некоторое натуральное число N>1 имеет k делителей. Выпишем эти делители в порядке возрастания:
Если число N является точным квадратом, то оно имеет нечетное число делителей: :
Причем:
При нахождении произведения всех делителей один из делителей (корень из точного квадрата) останется без пары, и итоговое произведение не будет целой степенью числа N.
Таким образом, числа, являющиеся точным квадратом не удовлетворяют условию задачи.
Если число N не является точным квадратом, то оно имеет четное число делителей: :
Причем:
Поскольку все делители разбились на пары, а произведение каждой пары равно N, то произведение всех делителей в этом случае равно .
По условию, нас интересует ситуация, когда произведение всех делителей числа равно пятой степени этого числа: .
Это означает, что , а значит само число должно иметь
делителей.
Вспомним формулу для определения количества делителей некоторого числа. Для числа :
, где
- простые числа, количество делителей определяется по формуле:
Как было определено выше, число должно иметь 10 делителей. Число 10 можно разложить на множители двумя способами: .
Если рассматривать вариант с разложением , то:
Тогда, число N должно иметь вид:
Поскольку наименьшее простое число равно 9, то наименьшее значение , что не удовлетворяет условию задачи от том, что N - число в диапазоне от 1 до 200.
Рассмотрим вариант с разложением :
Тогда, число N должно иметь вид:
Поскольку четвертая степень сильнее влияет на число, то начнем перебирать простые числа в порядке возрастания.
Если , то:
Поскольку нас интересуют числа , то:
Простые числа, удовлетворяющие полученному неравенству: 2; 3; 5; 7; 11. Заметим, что число совпало с рассматриваемым числом
, но по смыслу разложения числа
на простые множители, значения
и
должны быть различны.
Поэтому, имеется 4 варианта:
Если , то:
Вновь учтем условие :
Единственное простое число, удовлетворяющее этому неравенству - это число 2.
Тогда, получим один новый вариант:
Если , то:
При любых простых числах , число
будет больше 200. Поэтому, эти случаи не дают решений.
Таким образом, всего есть 6 чисел, удовлетворяющих условию задачи: 1; 48; 80; 112; 162; 176.
Ответ: 6 чисел