Question

Помогите пожалуйста, прошу вас.
Виконайте всі 4 приклади методом заміни змінної детально

Answer 1

Ответ:

Заменяем новой переменной ту функцию, от которой в подынтегральной функции есть производная с точностью до константы .

$\displaystyle \bf 1)\ \ \int \frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=\Big[\ t=1-x^2\ ,\ dt=-2x\, dx\ \Big]=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\\\\\\=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t}+C=-\sqrt{1-x^2}+C$  

Ответ: В) .

$\displaystyle \bf 2)\ \ \int 2x\cdot sin(x^2)\, dx=\Big[\ t=x^2\ ,\ dt=2x\, dx\ \Big]=\int sin\, t\, dt=\\\\\\=-cos\, t+C=-cos(x^2)+C$

Ответ:  Б) .

$\displaystyle \bf 3)\ \ \int \limits _0^1\, 4x\cdot e^{x^2}\, dx=\Big[\ t=x^2\ ,\ dt=2x\, dx\ ,\ t_1=0\ ,\ t_2=1\ \Big]=\\\\\\=\int \limits _0^1\, 2\, e^{t}\, dt=2\, e^{t}\, \Big|_0^1=2\, (e^1-e^0)=2(e-1)$  

Ответ:  В) .

$\displaystyle \bf 4)\ \ \int \limits _0^1\, (3+x^3)\cdot x^2\, dx=\Big[\ t=3+x^3\ ,\ dt=3x^2\, dx\ ,\ t_1=3\ ,\ t_2=4\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{3}\int \limits _3^4\, t\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^2}{2}\, \Big|_3^4=\frac{1}{6}\, \Big(4^2-3^2\Big)=\frac{1}{6}\cdot 7=\frac{7}{6}$  

Ответ:  А) .