Question

В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной а, которая стягивает дугу а-альфа. Отрезок, соединяющий середину хорды с центром верхнего основания, образует с высотой угол В-бета. Найти объем цилиндра.

Answer 1

Ответ:

Объем цилиндра равен  $\displaystyle \bf \frac{a^3ctg\frac{\alpha }{2} }{8\;sin^2\frac{\alpha }{2}\;tg\beta }$  ед.³

Объяснение:

В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной а, которая стягивает дугу α. Отрезок, соединяющий середину хорды с центром верхнего основания, образует с высотой угол β. Найти объем цилиндра.

Дано: цилиндр;

АВ = а - хорда;

АК = КВ;

◡АВ = α;

∠КЕО = β

Найти: V цилиндра.

Решение:

• Объем цилиндра найдем по формуле:
• V = πR²h,
• где R - радиус основания, h - высота цилиндра.

1. Рассмотрим ΔАОВ.

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠АОВ = α

ОА = ОВ = R   ⇒   ΔАОВ - равнобедренный.

АК = КВ  = а/2 ⇒   ОК - медиана.

• В равнобедренном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой.

⇒ ОК - биссектриса, высота.

∠АОК = ∠КОВ = α/2;   ОК ⊥ АВ.

2. Рассмотрим ΔАОК - прямоугольный.

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \bf sin\frac{\alpha }{2}=\frac{AK}{AO}=\frac{a}{2R} \\\\R=\frac{a}{2\;sin\frac{\alpha }{2} }$

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \bf cos\frac{\alpha }{2}=\frac{OK}{AO}=\frac{OK}{R} \\\\R=\frac{a}{2\;sin\frac{\alpha }{2} }\\\\OK=Rcos\frac{\alpha }{2}=\frac{a\;cos\frac{\alpha }{2} }{2\;sin\frac{\alpha }{2} } =\frac{a\;ctg\frac{\alpha }{2} }{2}$

3. Рассмотрим ΔКЕО - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащему катету к прилежащему.

$\displaystyle \bf tg\beta =\frac{OK}{OE} \\\\OE=\frac{OK}{tg\beta } \\\\OK=\frac{a\;ctg\frac{\alpha }{2} }{2} \\\\OE=\frac{a\;ctg\frac{\alpha }{2} }{2\;tg\beta }$

Радиус нашли, высоту нашли. Можем найти объем:

$\displaystyle \bf V=\pi \cdot \frac{a^2}{4\;sin^2\frac{\alpha }{2} }\cdot \frac{a\;ctg\frac{\alpha }{2} }{2\;tg\beta } =\frac{a^3ctg\frac{\alpha }{2} }{8\;sin^2\frac{\alpha }{2}\;tg\beta }$

Объем цилиндра равен  $\displaystyle \bf \frac{a^3ctg\frac{\alpha }{2} }{8\;sin^2\frac{\alpha }{2}\;tg\beta }$  ед.³